Номер 148, страница 179 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 148, страница 179.

Условие.

22.148. Квадрат CDEF, изображённый на рисунке 22.14, является образом квадрата ABCD при повороте по часовой стрелке на угол $90^\circ$. Какая точка является центром поворота?

Рис. 22.14

B C F

A D E

Решение 1.

Решение 3.

Центр поворота — это точка, которая при выполнении поворота остается неподвижной. Все остальные точки фигуры поворачиваются вокруг этой точки на заданный угол. В данном случае поворот осуществляется на угол $90^{\circ}$ по часовой стрелке.

Давайте проверим, какая из точек, указанных на рисунке, может служить центром поворота, при котором квадрат $ABCD$ переходит в квадрат $CDEF$.

Предположим, что центром поворота является точка $D$. Проверим, куда перейдут вершины квадрата $ABCD$ при повороте вокруг точки $D$ на $90^{\circ}$ по часовой стрелке:

• Точка $D$, как центр поворота, останется на месте.
• Вершина $A$ квадрата $ABCD$ лежит на одной прямой с точкой $D$. При повороте на $90^{\circ}$ по часовой стрелке вокруг $D$ точка $A$ перейдет в такую точку, которая находится на том же расстоянии от $D$, что и $A$, а угол между отрезками $DA$ и $D$ с новой точкой составит $90^{\circ}$. Из рисунка видно, что $DA = DC$ (стороны квадрата $ABCD$) и угол $\angle ADC = 90^{\circ}$. Следовательно, вершина $A$ переходит в вершину $C$.
• Вершина $C$ квадрата $ABCD$ также является вершиной квадрата $CDEF$. При повороте на $90^{\circ}$ по часовой стрелке вокруг $D$ точка $C$ перейдет в такую точку, которая находится на том же расстоянии от $D$, что и $C$, а угол между отрезком $DC$ и отрезком к новой точке составит $90^{\circ}$. Из рисунка видно, что $DC = DE$ (стороны квадратов) и угол $\angle CDE = 90^{\circ}$. Следовательно, вершина $C$ переходит в вершину $E$.
• Поскольку преобразование является поворотом, оно сохраняет форму фигуры. Если вершины $A$, $C$, $D$ перешли в $C$, $E$, $D$ соответственно, то четвертая вершина $B$ должна перейти в оставшуюся четвертую вершину квадрата $CDEF$, то есть в точку $F$.

Таким образом, при повороте на $90^{\circ}$ по часовой стрелке вокруг точки $D$ квадрат $ABCD$ действительно переходит в квадрат $CDEF$. Это означает, что точка $D$ и является центром данного поворота.

Ответ: Точка D.