Номер 147, страница 179 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 147, страница 179.

Условие.

22.147. Точка $O$ – центр правильного двенадцатиугольника, изображённого на рисунке 22.13. Укажите образ стороны $A_2A_3$ при повороте вокруг точки $O$ по часовой стрелке на угол $150^\circ$.

Рис. 22.11

Рис. 22.12

Рис. 22.13

Решение 1.

Решение 3.

Правильный двенадцатиугольник $A_1A_2...A_{12}$ имеет 12 равных сторон и 12 равных углов. Точка $O$ является центром описанной окружности этого многоугольника.

Поскольку многоугольник правильный, все его вершины расположены на равном угловом расстоянии друг от друга. Полный угол вокруг центра $O$ составляет $360^\circ$. Центральный угол, соответствующий одной стороне многоугольника (например, угол $\angle A_1OA_2$), равен:

$\alpha = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ$

Это означает, что поворот по часовой стрелке на $30^\circ$ переводит каждую вершину $A_k$ в следующую вершину $A_{k+1}$ (а вершину $A_{12}$ в $A_1$).

Нам нужно найти образ стороны $A_2A_3$ при повороте вокруг точки $O$ по часовой стрелке на угол $150^\circ$. Для этого найдем образы конечных точек этого отрезка — вершин $A_2$ и $A_3$.

Чтобы определить, на сколько позиций сместится каждая вершина, разделим угол поворота на величину центрального угла:

$n = \frac{150^\circ}{30^\circ} = 5$

Это означает, что каждая вершина сместится на 5 позиций по часовой стрелке.

1. Найдем образ вершины $A_2$. При повороте на $150^\circ$ по часовой стрелке она перейдет в вершину с индексом $2 + 5 = 7$. Таким образом, образом точки $A_2$ является точка $A_7$.

2. Найдем образ вершины $A_3$. При повороте на $150^\circ$ по часовой стрелке она перейдет в вершину с индексом $3 + 5 = 8$. Таким образом, образом точки $A_3$ является точка $A_8$.

Поскольку при повороте отрезок переходит в отрезок, то образом стороны $A_2A_3$ будет сторона, соединяющая образы ее концов, то есть сторона $A_7A_8$.

Ответ: сторона $A_7A_8$.