Номер 140, страница 178 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 140, страница 178.

Условие.

22.140. При параллельном переносе на вектор $\vec{a}$ образом точки $A (-5; 6)$ является точка $B (2; -1)$. Какие координаты имеет прообраз точки $D (10; -3)$ при параллельном переносе на вектор $\vec{a}$?

Решение 1.

Решение 3.

Параллельный перенос на вектор $\vec{a} = (a_x; a_y)$ переводит точку $M(x; y)$ в точку $M'(x'; y')$, координаты которой вычисляются по формулам:

$x' = x + a_x$

$y' = y + a_y$

1. Нахождение координат вектора переноса $\vec{a}$

По условию, образом точки $A(-5; 6)$ является точка $B(2; -1)$. Это значит, что точка $A$ — это исходная точка $(x; y)$, а точка $B$ — это конечная точка $(x'; y')$. Подставим их координаты в формулы параллельного переноса:

$2 = -5 + a_x$

$-1 = 6 + a_y$

Из этих уравнений находим компоненты вектора $\vec{a}$:

$a_x = 2 - (-5) = 2 + 5 = 7$

$a_y = -1 - 6 = -7$

Таким образом, вектор параллельного переноса $\vec{a} = (7; -7)$.

2. Нахождение координат прообраза точки D

Теперь нам нужно найти прообраз точки $D(10; -3)$. Пусть искомая точка (прообраз) имеет координаты $C(x_C; y_C)$. Это означает, что при переносе на вектор $\vec{a}$ точка $C$ переходит в точку $D$. В данном случае, $C$ — это исходная точка, а $D$ — конечная.

Запишем формулы переноса для этого случая:

$x_D = x_C + a_x$

$y_D = y_C + a_y$

Подставим известные координаты точки $D$ и вектора $\vec{a}$:

$10 = x_C + 7$

$-3 = y_C + (-7)$

Теперь решим эти уравнения, чтобы найти координаты точки $C$:

$x_C = 10 - 7 = 3$

$y_C = -3 - (-7) = -3 + 7 = 4$

Следовательно, прообразом точки $D(10; -3)$ при данном параллельном переносе является точка с координатами $(3; 4)$.

Ответ: $(3; 4)$