Номер 133, страница 177 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 133, страница 177.

Условие.

22.133. На сторонах $AB$ и $BC$ параллелограмма $ABCD$ отметили соответственно точки $M$ и $K$ так, что $AM : MB = 1 : 2$, $BK : KC = 2 : 3$. Выразите вектор $\overrightarrow{KM}$ через векторы $\overrightarrow{AB} = \vec{a}$ и $\overrightarrow{AD} = \vec{b}$.

Решение 1.

Решение 3.

Для решения задачи выразим искомый вектор $\vec{KM}$ через базисные векторы $\vec{a} = \vec{AB}$ и $\vec{b} = \vec{AD}$.

Воспользуемся правилом вычитания векторов. Если выбрать точку A в качестве начала отсчета, то вектор $\vec{KM}$ можно представить как разность векторов $\vec{AM}$ и $\vec{AK}$ (радиус-векторов точек M и K соответственно):

$\vec{KM} = \vec{AM} - \vec{AK}$

Теперь найдем каждый из этих векторов.

1. Найдем вектор $\vec{AM}$.

Точка M лежит на стороне AB, и по условию $AM : MB = 1 : 2$. Это означает, что точка M делит отрезок AB на 3 равные части, и длина отрезка AM составляет одну такую часть. Вектор $\vec{AM}$ сонаправлен вектору $\vec{AB}$, поэтому:

$\vec{AM} = \frac{1}{1+2} \vec{AB} = \frac{1}{3} \vec{AB} = \frac{1}{3} \vec{a}$

2. Найдем вектор $\vec{AK}$.

Для нахождения вектора $\vec{AK}$ воспользуемся правилом сложения векторов (правилом треугольника) для $\triangle ABK$:

$\vec{AK} = \vec{AB} + \vec{BK}$

Вектор $\vec{AB} = \vec{a}$ нам дан. Найдем вектор $\vec{BK}$. Точка K лежит на стороне BC, и по условию $BK : KC = 2 : 3$. Это означает, что точка K делит отрезок BC на 5 равных частей, и длина отрезка BK составляет две такие части. Вектор $\vec{BK}$ сонаправлен вектору $\vec{BC}$, поэтому:

$\vec{BK} = \frac{2}{2+3} \vec{BC} = \frac{2}{5} \vec{BC}$

Так как ABCD — параллелограмм, то его противоположные стороны равны и параллельны, следовательно, $\vec{BC} = \vec{AD} = \vec{b}$.

Подставим это в выражение для $\vec{BK}$:

$\vec{BK} = \frac{2}{5} \vec{b}$

Теперь мы можем найти вектор $\vec{AK}$:

$\vec{AK} = \vec{AB} + \vec{BK} = \vec{a} + \frac{2}{5} \vec{b}$

3. Вычислим вектор $\vec{KM}$.

Подставим найденные выражения для $\vec{AM}$ и $\vec{AK}$ в исходную формулу:

$\vec{KM} = \vec{AM} - \vec{AK} = \frac{1}{3} \vec{a} - (\vec{a} + \frac{2}{5} \vec{b})$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$\vec{KM} = \frac{1}{3} \vec{a} - \vec{a} - \frac{2}{5} \vec{b} = (\frac{1}{3} - 1) \vec{a} - \frac{2}{5} \vec{b} = -\frac{2}{3} \vec{a} - \frac{2}{5} \vec{b}$

Ответ: $\vec{KM} = -\frac{2}{3}\vec{a} - \frac{2}{5}\vec{b}$