Номер 134, страница 177 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 134, страница 177.

Условие.

22.134. На стороне $BC$ и диагонали $AC$ параллелограмма $ABCD$ отметили точки $K$ и $F$ соответственно так, что $BK : BC = 5 : 6$, $AF : AC = 6 : 7$. Докажите, что точки $D, F$ и $K$ лежат на одной прямой.

Решение 1.

Решение 3.

Для доказательства того, что точки $D$, $F$ и $K$ лежат на одной прямой, воспользуемся векторным методом. Для этого достаточно показать, что векторы $\vec{DF}$ и $\vec{DK}$ коллинеарны, то есть один вектор можно выразить через другой умножением на некоторое число.

Пусть точка $D$ будет началом координат. Введем базисные векторы $\vec{DA} = \vec{a}$ и $\vec{DC} = \vec{c}$. Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, то $\vec{AD} = -\vec{DA} = -\vec{a}$, а также $\vec{BC} = \vec{AD} = -\vec{a}$, и, следовательно, $\vec{CB} = -\vec{BC} = \vec{a}$.

Выразим векторы $\vec{DF}$ и $\vec{DK}$ через базисные векторы $\vec{a}$ и $\vec{c}$.

Сначала найдем вектор $\vec{DF}$. Точка $F$ лежит на диагонали $AC$. По условию $AF : AC = 6 : 7$, следовательно, $\vec{AF} = \frac{6}{7}\vec{AC}$.Вектор диагонали $\vec{AC}$ можно выразить через базисные: $\vec{AC} = \vec{AD} + \vec{DC} = -\vec{DA} + \vec{DC} = \vec{c} - \vec{a}$.Тогда $\vec{AF} = \frac{6}{7}(\vec{c} - \vec{a})$.Вектор $\vec{DF}$ можно найти по правилу треугольника для векторов: $\vec{DF} = \vec{DA} + \vec{AF}$.Подставим известные выражения:$\vec{DF} = \vec{a} + \frac{6}{7}(\vec{c} - \vec{a}) = \vec{a} - \frac{6}{7}\vec{a} + \frac{6}{7}\vec{c} = \frac{1}{7}\vec{a} + \frac{6}{7}\vec{c}$.

Теперь найдем вектор $\vec{DK}$. Точка $K$ лежит на стороне $BC$. По условию $BK : BC = 5 : 6$. Это означает, что точка $K$ делит отрезок $BC$ в отношении $5:1$, считая от $B$. Тогда отношение $CK$ к $CB$ будет $CK : CB = (BC - BK) : BC = (1 - \frac{5}{6}) : 1 = 1:6$.Следовательно, $\vec{CK} = \frac{1}{6}\vec{CB}$.Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, $\vec{CB} = \vec{DA} = \vec{a}$.Значит, $\vec{CK} = \frac{1}{6}\vec{a}$.Вектор $\vec{DK}$ найдем по правилу треугольника: $\vec{DK} = \vec{DC} + \vec{CK}$.Подставим известные выражения:$\vec{DK} = \vec{c} + \frac{1}{6}\vec{a} = \frac{1}{6}\vec{a} + \vec{c}$.

Сравним полученные выражения для векторов $\vec{DF}$ и $\vec{DK}$:$\vec{DF} = \frac{1}{7}\vec{a} + \frac{6}{7}\vec{c} = \frac{6}{7}(\frac{1}{6}\vec{a} + \vec{c})$.Мы видим, что выражение в скобках в точности равно вектору $\vec{DK}$.Таким образом, мы получили соотношение $\vec{DF} = \frac{6}{7}\vec{DK}$.

Так как вектор $\vec{DF}$ является произведением вектора $\vec{DK}$ на число $\frac{6}{7}$, векторы $\vec{DF}$ и $\vec{DK}$ коллинеарны. Поскольку эти векторы имеют общее начало в точке $D$, точки $D$, $F$ и $K$ лежат на одной прямой.

Ответ: Что и требовалось доказать.