Номер 136, страница 178 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 136, страница 178.

Условие.

22.136. Запишите уравнение окружности, являющейся образом окружности $x^2 + y^2 = 4$ при параллельном переносе на вектор $\vec{a} (2; -3)$.

Решение 1.

Решение 3.

Исходное уравнение окружности $x^2 + y^2 = 4$. Это уравнение можно записать в стандартном виде $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$, где $(x_0, y_0)$ - это координаты центра окружности, а $R$ - ее радиус. Для данной окружности уравнение принимает вид $(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 2^2$. Следовательно, центр исходной окружности находится в точке $O(0, 0)$, а её радиус $R = 2$.

Параллельный перенос является движением, то есть он сохраняет расстояние между точками. Это означает, что образом окружности при параллельном переносе будет окружность с таким же радиусом. Изменится только положение ее центра.

Центр новой окружности $O'$ является образом центра исходной окружности $O(0, 0)$ при параллельном переносе на вектор $\vec{a}(2; -3)$. Чтобы найти координаты нового центра $(x'_0, y'_0)$, нужно к координатам старого центра прибавить соответствующие координаты вектора переноса:

$x'_0 = x_0 + a_x = 0 + 2 = 2$
$y'_0 = y_0 + a_y = 0 + (-3) = -3$

Таким образом, новый центр окружности находится в точке $O'(2, -3)$. Радиус окружности остался прежним: $R' = R = 2$.

Теперь мы можем записать уравнение новой окружности, подставив координаты нового центра и радиус в стандартную формулу:
$(x - x'_0)^2 + (y - y'_0)^2 = (R')^2$
$(x - 2)^2 + (y - (-3))^2 = 2^2$
$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 4$

Ответ: $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 4$