Номер 138, страница 178 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 138, страница 178.

Условие.

22.138. Укажите движение, при котором образом четырёхугольника $ABCD$, изображённого на рисунке 22.10, является четырёхугольник $MKNP$.

Рис. 22.9

Рис. 22.10

Решение 1.

Решение 3.

Для решения задачи введем систему координат. Поместим начало координат в точку D четырехугольника ABCD. Пусть одна клетка соответствует единице длины. Тогда вершины четырехугольника ABCD будут иметь следующие координаты:

• D(0, 0)
• Поскольку сторона AD горизонтальна и ее длина равна 4 клеткам, то A(-4, 0).
• Сторона DC вертикальна и ее длина равна 3 клеткам, следовательно C(0, 3).
• Сторона BC горизонтальна, ее длина 2 клетки, значит B(-2, 3).

Таким образом, ABCD - это прямоугольная трапеция с вершинами A(-4, 0), B(-2, 3), C(0, 3), D(0, 0). Найдем длины ее сторон:

$AD = \sqrt{(-4-0)^2 + (0-0)^2} = 4$

$DC = \sqrt{(0-0)^2 + (3-0)^2} = 3$

$BC = \sqrt{(-2-0)^2 + (3-3)^2} = 2$

$AB = \sqrt{(-2-(-4))^2 + (3-0)^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13}$

Теперь найдем координаты вершин четырехугольника MKNP в этой же системе координат. Исходя из рисунка:

• P(1, -2)
• Сторона PN вертикальна, ее длина 3 клетки, следовательно N(1, 1).
• Сторона PM горизонтальна, ее длина 4 клетки (от x=-3 до x=1), значит M(-3, -2).
• Координаты точки K(-2, 0).

Таким образом, MKNP - четырехугольник с вершинами M(-3, -2), K(-2, 0), N(1, 1), P(1, -2). Найдем длины его сторон:

$MP = \sqrt{(-3-1)^2 + (-2-(-2))^2} = \sqrt{(-4)^2} = 4$

$PN = \sqrt{(1-1)^2 + (1-(-2))^2} = \sqrt{3^2} = 3$

$NK = \sqrt{(-2-1)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}$

$KM = \sqrt{(-3-(-2))^2 + (-2-0)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$

Сравнивая длины сторон четырехугольников ABCD {4, 3, 2, $\sqrt{13}$} и MKNP {4, 3, $\sqrt{10}$, $\sqrt{5}$}, мы видим, что они не равны. Движение (изометрия) сохраняет расстояния, поэтому фигуры должны быть конгруэнтны. Так как четырехугольники не конгруэнтны, можно сделать вывод, что в условии задачи или в рисунке допущена ошибка.

Однако, визуально преобразование похоже на центральную симметрию (поворот на 180°). Предположим, что это и есть искомое движение, а рисунок выполнен с неточностями. При центральной симметрии центр симметрии является серединой отрезка, соединяющего прообраз и образ. Попробуем найти этот центр, предположив соответствие вершин. Визуально, вершина A должна переходить в N, а C - в M.

Найдем середину отрезка AN:

$O_x = \frac{x_A + x_N}{2} = \frac{-4 + 1}{2} = -1.5$

$O_y = \frac{y_A + y_N}{2} = \frac{0 + 1}{2} = 0.5$

Получаем центр симметрии O(-1.5, 0.5).

Проверим, является ли эта же точка серединой отрезка CM:

$O_x = \frac{x_C + x_M}{2} = \frac{0 + (-3)}{2} = -1.5$

$O_y = \frac{y_C + y_M}{2} = \frac{3 + (-2)}{2} = 0.5$

Координаты центра совпали. Таким образом, при центральной симметрии относительно точки O(-1.5, 0.5) вершина A переходит в N, а C - в M. Проверим, куда переходят вершины B и D:

Образ точки B(-2, 3):

$x_{B'} = 2x_O - x_B = 2(-1.5) - (-2) = -3 + 2 = -1$

$y_{B'} = 2y_O - y_B = 2(0.5) - 3 = 1 - 3 = -2$

Точка B'(-1, -2) не совпадает с K(-2, 0) или P(1,-2).

Образ точки D(0, 0):

$x_{D'} = 2x_O - x_D = 2(-1.5) - 0 = -3$

$y_{D'} = 2y_O - y_D = 2(0.5) - 0 = 1$

Точка D'(-3, 1) не совпадает ни с одной из оставшихся вершин K или P.

Это подтверждает, что четырехугольник MKNP на рисунке изображен неверно, но наиболее вероятным искомым преобразованием является центральная симметрия.

Ответ: Центральная симметрия (поворот на 180°).