Номер 132, страница 177 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 132, страница 177.

Условие.

22.132. На сторонах $BC$ и $CD$ параллелограмма $ABCD$ отметили соответст-венно точки $E$ и $F$ так, что $BE : EC = 3 : 4$, $CF : FD = 1 : 3$. Вырази-те вектор $\vec{EF}$ через векторы $\vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{AD} = \vec{b}$.

Решение 1.

Решение 3.

Для того чтобы выразить вектор $\vec{EF}$ через векторы $\vec{a} = \vec{AB}$ и $\vec{b} = \vec{AD}$, воспользуемся правилом сложения векторов. Проще всего представить вектор $\vec{EF}$ как сумму векторов $\vec{EC}$ и $\vec{CF}$, так как точки $E$ и $F$ лежат на сторонах, примыкающих к вершине $C$.

$\vec{EF} = \vec{EC} + \vec{CF}$

Сначала найдем вектор $\vec{EC}$. Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, его противоположные стороны параллельны и равны, значит, $\vec{BC} = \vec{AD} = \vec{b}$. Точка $E$ лежит на стороне $BC$ и делит ее в отношении $BE : EC = 3 : 4$. Это означает, что вся сторона $BC$ состоит из $3+4=7$ частей, и на отрезок $EC$ приходится 4 таких части. Вектор $\vec{EC}$ сонаправлен вектору $\vec{BC}$, поэтому:

$\vec{EC} = \frac{4}{7}\vec{BC} = \frac{4}{7}\vec{b}$

Теперь найдем вектор $\vec{CF}$. В параллелограмме $ABCD$ вектор $\vec{CD}$ равен вектору $\vec{BA}$. В свою очередь, вектор $\vec{BA}$ противоположен вектору $\vec{AB}$, то есть $\vec{BA} = -\vec{AB} = -\vec{a}$. Таким образом, $\vec{CD} = -\vec{a}$. Точка $F$ лежит на стороне $CD$ и делит ее в отношении $CF : FD = 1 : 3$. Это означает, что вся сторона $CD$ состоит из $1+3=4$ частей, и на отрезок $CF$ приходится 1 такая часть. Вектор $\vec{CF}$ сонаправлен вектору $\vec{CD}$, поэтому:

$\vec{CF} = \frac{1}{4}\vec{CD} = \frac{1}{4}(-\vec{a}) = -\frac{1}{4}\vec{a}$

Осталось подставить найденные выражения для векторов $\vec{EC}$ и $\vec{CF}$ в формулу для $\vec{EF}$:

$\vec{EF} = \vec{EC} + \vec{CF} = \frac{4}{7}\vec{b} - \frac{1}{4}\vec{a}$

Ответ: $\vec{EF} = -\frac{1}{4}\vec{a} + \frac{4}{7}\vec{b}$.