Номер 135, страница 178 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 135, страница 178.

Условие.

22.135. Сколько существует параллельных переносов, при которых образом прямой является:

1) сама эта прямая;

2) параллельная ей прямая?

Решение 1.

Решение 3.

Параллельный перенос — это преобразование плоскости (или пространства), задаваемое некоторым вектором $\vec{v}$. При этом преобразовании каждая точка $M$ переходит в такую точку $M'$, что вектор $\vec{MM'}$ равен вектору $\vec{v}$.

1) сама эта прямая

Пусть дана прямая $L$. Чтобы образом этой прямой при параллельном переносе была она сама, необходимо и достаточно, чтобы вектор переноса $\vec{v}$ был параллелен (коллинеарен) прямой $L$.

Если прямая $L$ задана своим направляющим вектором $\vec{u}$, то любой вектор $\vec{v}$, коллинеарный ей, можно представить в виде $\vec{v} = k \cdot \vec{u}$, где $k$ — любое действительное число ($k \in \mathbb{R}$).

Поскольку множество действительных чисел бесконечно, существует бесконечное множество таких векторов $\vec{v}$. Каждый из этих векторов определяет уникальный параллельный перенос, который отображает прямую на саму себя.

Ответ: существует бесконечно много таких параллельных переносов.

2) параллельная ей прямая

Свойством любого параллельного переноса является то, что он переводит любую прямую в параллельную ей прямую (или в саму себя, что является частным случаем параллельности).

Рассмотрим доказательство. Пусть на прямой $L$ лежат две различные точки $A$ и $B$. При параллельном переносе на вектор $\vec{v}$ они перейдут в точки $A'$ и $B'$ соответственно. По определению переноса, $\vec{AA'} = \vec{v}$ и $\vec{BB'} = \vec{v}$. Из равенства $\vec{AA'} = \vec{BB'}$ следует, что либо четырехугольник $ABB'A'$ является параллелограммом, либо все четыре точки лежат на одной прямой. В обоих случаях прямая $A'B'$ (образ прямой $L$) будет параллельна исходной прямой $AB$.

Это свойство выполняется для любого вектора переноса $\vec{v}$. Так как в пространстве (или на плоскости) существует бесконечное множество векторов, то и параллельных переносов, удовлетворяющих условию, также бесконечно много.

Ответ: существует бесконечно много таких параллельных переносов.