Номер 137, страница 178 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 137, страница 178.

Условие.

22.137. Укажите движение, при котором образом четырёхугольника ABCD, изображённого на рисунке 22.9, является четырёхугольник MNKP.

Рис. 22.9

Решение 1.

Решение 3.

Для того чтобы определить вид движения, которое преобразует четырехугольник ABCD в четырехугольник MNKP, введем на рисунке декартову систему координат. Пусть одна клетка сетки соответствует единичному отрезку, а вершина A четырехугольника ABCD совпадает с началом координат (0, 0).

В этой системе координат вершины четырехугольника ABCD имеют следующие координаты:

A(0, 0), B(2, 3), C(4, 3), D(4, 0).

Вершины четырехугольника справа (который в соответствии с порядком расположения вершин на плоскости является четырехугольником PMNK) имеют координаты:

P(5, 3), M(7, 3), N(10, 0), K(5, 0).

Движение в геометрии является изометрическим преобразованием, то есть преобразованием, сохраняющим расстояния между точками. Следовательно, образом фигуры при движении может быть только конгруэнтная ей фигура. Сравним длины сторон данных четырехугольников.

Для четырехугольника ABCD:

• Длина нижнего основания AD: $d_{AD} = \sqrt{(4-0)^2 + (0-0)^2} = 4$.
• Длина боковой стороны CD: $d_{CD} = \sqrt{(4-4)^2 + (3-0)^2} = 3$.
• Длина верхнего основания BC: $d_{BC} = \sqrt{(4-2)^2 + (3-3)^2} = 2$.

Для четырехугольника PMNK:

• Длина нижнего основания KN: $d_{KN} = \sqrt{(10-5)^2 + (0-0)^2} = 5$.
• Длина боковой стороны KP: $d_{KP} = \sqrt{(5-5)^2 + (3-0)^2} = 3$.
• Длина верхнего основания PM: $d_{PM} = \sqrt{(7-5)^2 + (3-3)^2} = 2$.

Поскольку длина стороны AD ($4$) не равна длине соответствующей ей стороны KN ($5$), четырехугольники ABCD и PMNK не конгруэнтны. Это означает, что в условии задачи, вероятно, содержится опечатка в изображении, и не существует движения, которое отображает ABCD в изображенный четырехугольник MNKP (PMNK).

Если предположить, что четырехугольник справа должен быть образом ABCD, он должен быть ему конгруэнтен. Это было бы так, если бы длина его нижнего основания была равна 4, а не 5. То есть, если бы точка N имела координаты (9, 0).

При таком допущении, найдем движение, переводящее ABCD в конгруэнтный ему четырехугольник PMN'K, где N' имеет координаты (9, 0).

Заметим, что ABCD — это трапеция, у которой прямые углы находятся с правой стороны (вершины C и D), а у PMN'K — с левой (вершины P и K). Это означает, что ориентация фигуры изменилась на противоположную. Такое преобразование является либо осевой симметрией (отражением), либо скользящей симметрией.

Найдем соответствие между вершинами конгруэнтных фигур:

A(0,0) → N'(9,0)

B(2,3) → M(7,3)

C(4,3) → P(5,3)

D(4,0) → K(5,0)

Очевидно, что преобразование является осевой симметрией относительно вертикальной прямой, расположенной посередине между фигурами. Найдем уравнение этой прямой. Ось симметрии является серединным перпендикуляром к отрезкам, соединяющим соответствующие точки. Возьмем пару точек D(4,0) и K(5,0).

Середина отрезка DK имеет координаты: $x_c = \frac{4+5}{2} = 4.5$, $y_c = \frac{0+0}{2} = 0$.

Так как отрезок DK лежит на горизонтальной оси, серединный перпендикуляр к нему — это вертикальная прямая $x = 4.5$.

Проверка для других пар точек (например, C и P) дает ту же самую ось симметрии: $x_c = \frac{4+5}{2} = 4.5$.

Таким образом, искомое движение — это осевая симметрия относительно прямой $x = 4.5$.

Ответ: Осевая симметрия (отражение) относительно вертикальной прямой, равноудаленной от обоих четырехугольников.