Номер 131, страница 177 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 131, страница 177.

Условие.

22.131. На стороне $CD$ параллелограмма $ABCD$ отметили точку $M$ так, что $CM : MD = 2 : 3$. Выразите вектор $\overrightarrow{AM}$ через векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$, где $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{b} = \overrightarrow{AD}$.

Решение 1.

Решение 3.

Для того чтобы выразить вектор $\overrightarrow{AM}$ через векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, воспользуемся правилом сложения векторов (правилом многоугольника). Представим вектор $\overrightarrow{AM}$ как сумму векторов, идущих от точки A к точке M. Наиболее удобный путь — через вершины параллелограмма, например, A → D → M.

Согласно правилу сложения векторов, мы можем записать:
$\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DM}$

Из условия задачи мы знаем, что $\overrightarrow{AD} = \vec{b}$. Теперь нам нужно выразить вектор $\overrightarrow{DM}$ через заданные векторы.

Поскольку ABCD является параллелограммом, его противоположные стороны параллельны и равны. Это означает, что векторы, соответствующие этим сторонам, равны: $\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}$.
По условию $\overrightarrow{AB} = \vec{a}$, следовательно, $\overrightarrow{DC} = \vec{a}$.

Точка M делит сторону CD в отношении $CM : MD = 2 : 3$. Это значит, что длина отрезка MD составляет $\frac{3}{2+3} = \frac{3}{5}$ от длины всей стороны DC.
Вектор $\overrightarrow{DM}$ направлен от точки D к точке M, то есть он сонаправлен с вектором $\overrightarrow{DC}$. Поэтому вектор $\overrightarrow{DM}$ можно выразить как часть вектора $\overrightarrow{DC}$:
$\overrightarrow{DM} = \frac{3}{5} \overrightarrow{DC}$

Подставив ранее найденное выражение $\overrightarrow{DC} = \vec{a}$, получим:
$\overrightarrow{DM} = \frac{3}{5} \vec{a}$

Теперь подставим полученные выражения для векторов $\overrightarrow{AD}$ и $\overrightarrow{DM}$ в исходное равенство для $\overrightarrow{AM}$:
$\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DM} = \vec{b} + \frac{3}{5} \vec{a}$

Ответ: $\overrightarrow{AM} = \vec{b} + \frac{3}{5}\vec{a}$