Номер 129, страница 177 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 129, страница 177.

Условие.

22.129. Сторона правильного шестиугольника $ABCDEF$ равна 1. Вычислите скалярное произведение:

1) $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{CD}$;

2) $\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{CD}$.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дан правильный шестиугольник $ABCDEF$ со стороной $a=1$.

1) $\vec{BA} \cdot \vec{CD}$

Скалярное произведение двух векторов определяется формулой $\vec{x} \cdot \vec{y} = |\vec{x}| \cdot |\vec{y}| \cdot \cos\alpha$, где $\alpha$ — угол между векторами $\vec{x}$ и $\vec{y}$.

Длины векторов $\vec{BA}$ и $\vec{CD}$ равны стороне шестиугольника:
$|\vec{BA}| = 1$
$|\vec{CD}| = 1$

Теперь найдем угол между векторами $\vec{BA}$ и $\vec{CD}$. В правильном шестиугольнике сторона $AB$ параллельна стороне $ED$, а сторона $CD$ параллельна стороне $AF$. Векторы, лежащие на параллельных прямых, либо сонаправлены, либо противоположно направлены.
Вектор $\vec{BA}$ направлен противоположно вектору $\vec{AB}$. Вектор $\vec{AB}$ сонаправлен с вектором $\vec{ED}$. Следовательно, вектор $\vec{BA}$ сонаправлен с вектором $\vec{DE}$. Таким образом, $\vec{BA} = \vec{DE}$.

Заменим в искомом скалярном произведении вектор $\vec{BA}$ на равный ему вектор $\vec{DE}$:
$\vec{BA} \cdot \vec{CD} = \vec{DE} \cdot \vec{CD}$

Чтобы найти угол между векторами $\vec{DE}$ и $\vec{CD}$, совместим их начала в точке $D$. Угол между вектором $\vec{DE}$ и вектором $\vec{DC}$ равен внутреннему углу шестиугольника при вершине $D$, то есть $\angle CDE = 120^\circ$.
Нам нужен угол между векторами $\vec{DE}$ и $\vec{CD}$. Вектор $\vec{CD}$ направлен противоположно вектору $\vec{DC}$. Следовательно, угол между $\vec{DE}$ и $\vec{CD}$ равен $180^\circ - \angle CDE = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Теперь вычислим скалярное произведение:
$\vec{BA} \cdot \vec{CD} = |\vec{BA}| \cdot |\vec{CD}| \cdot \cos(60^\circ) = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

2) $\vec{AD} \cdot \vec{CD}$

Вектор $\vec{AD}$ — это большая диагональ правильного шестиугольника. Его длина в два раза больше длины стороны: $|\vec{AD}| = 2a = 2 \cdot 1 = 2$.
Длина вектора $\vec{CD}$ равна стороне шестиугольника: $|\vec{CD}| = 1$.

Для нахождения скалярного произведения найдем угол между векторами. Для этого рассмотрим треугольник $ACD$.
$CD = 1$ (сторона шестиугольника).
$AD = 2$ (большая диагональ).
$AC$ — малая диагональ. Найдем ее длину по теореме косинусов из треугольника $ABC$, где $AB=BC=1$, а $\angle ABC = 120^\circ$.
$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(120^\circ) = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = 1 + 1 + 1 = 3$.
$AC = \sqrt{3}$.

Теперь в треугольнике $ACD$ мы знаем все три стороны: $CD=1$, $AC=\sqrt{3}$, $AD=2$. Заметим, что $1^2 + (\sqrt{3})^2 = 1+3=4=2^2$, то есть $CD^2 + AC^2 = AD^2$. По теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник $ACD$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$, $\angle ACD = 90^\circ$.

Нам нужен угол между векторами $\vec{AD}$ и $\vec{CD}$. Удобнее найти угол между векторами $\vec{DA}$ и $\vec{DC}$, так как они выходят из одной точки $D$. Угол между ними — это $\angle ADC$.
Из прямоугольного треугольника $ACD$:
$\cos(\angle ADC) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{CD}{AD} = \frac{1}{2}$.
Следовательно, $\angle ADC = 60^\circ$.

Скалярное произведение векторов $\vec{AD}$ и $\vec{CD}$ можно вычислить следующим образом:
$\vec{AD} \cdot \vec{CD} = (-\vec{DA}) \cdot (-\vec{DC}) = \vec{DA} \cdot \vec{DC} = |\vec{DA}| \cdot |\vec{DC}| \cdot \cos(\angle ADC)$.
$|\vec{DA}| = |\vec{AD}| = 2$.
$|\vec{DC}| = |\vec{CD}| = 1$.
$\vec{AD} \cdot \vec{CD} = 2 \cdot 1 \cdot \cos(60^\circ) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$.

Ответ: $1$.