Номер 126, страница 177 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 126, страница 177.

Условие.

22.126. Вычислите скалярное произведение $(\vec{a} - 2\vec{b})(\vec{a} + \vec{b})$, если $|\vec{a}| = \sqrt{2}$, $|\vec{b}| = 1$, $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 135^{\circ}$.

Решение 1.

Решение 3.

Для вычисления скалярного произведения раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения векторов (дистрибутивность):

$(\vec{a} - 2\vec{b})(\vec{a} + \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot \vec{b} - 2\vec{b} \cdot \vec{a} - 2\vec{b} \cdot \vec{b}$

Учитывая, что скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его модуля ($\vec{x} \cdot \vec{x} = |\vec{x}|^2$) и скалярное произведение коммутативно ($\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$), упростим выражение:

$|\vec{a}|^2 + \vec{a} \cdot \vec{b} - 2\vec{a} \cdot \vec{b} - 2|\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 - \vec{a} \cdot \vec{b} - 2|\vec{b}|^2$

Теперь вычислим скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$ по определению:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\angle(\vec{a}, \vec{b}))$

Подставим известные значения: $|\vec{a}| = \sqrt{2}$, $|\vec{b}| = 1$ и $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 135^\circ$.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \sqrt{2} \cdot 1 \cdot \cos(135^\circ)$

Значение косинуса $135^\circ$ равно:

$\cos(135^\circ) = \cos(180^\circ - 45^\circ) = -\cos(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Тогда скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$ равно:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \sqrt{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{(\sqrt{2})^2}{2} = -\frac{2}{2} = -1$

Теперь подставим все найденные значения в упрощенное выражение $|\vec{a}|^2 - \vec{a} \cdot \vec{b} - 2|\vec{b}|^2$:

$(\sqrt{2})^2 - (-1) - 2(1)^2 = 2 + 1 - 2 = 1$

Ответ: 1