Номер 121, страница 176 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 121, страница 176.

Условие.

22.121. Даны точки A (-2; 1) и B (2; -3). Найдите уравнение прямой, которая перпендикулярна прямой AB и пересекает отрезок AB в точке N такой, что $AN : NB = 3 : 1$.

Решение 1.

Решение 3.

Для нахождения уравнения прямой необходимо выполнить следующие действия: сначала найти координаты точки N, через которую проходит искомая прямая, затем определить угловой коэффициент этой прямой и, наконец, составить ее уравнение.

1. Нахождение координат точки N

Даны точки $A(-2; 1)$ и $B(2; -3)$. Точка N делит отрезок AB в отношении $AN:NB = 3:1$. Для нахождения координат точки $N(x_N; y_N)$, которая делит отрезок с концами в точках $A(x_A; y_A)$ и $B(x_B; y_B)$ в отношении $m:n$, используются формулы:

$x_N = \frac{n \cdot x_A + m \cdot x_B}{m+n}$

$y_N = \frac{n \cdot y_A + m \cdot y_B}{m+n}$

В нашем случае $m=3$ и $n=1$. Подставляем координаты точек A и B:

$x_N = \frac{1 \cdot (-2) + 3 \cdot 2}{3+1} = \frac{-2 + 6}{4} = \frac{4}{4} = 1$

$y_N = \frac{1 \cdot 1 + 3 \cdot (-3)}{3+1} = \frac{1 - 9}{4} = \frac{-8}{4} = -2$

Таким образом, точка N имеет координаты $(1; -2)$.

2. Нахождение углового коэффициента прямой AB

Угловой коэффициент $k_{AB}$ прямой, проходящей через две точки, вычисляется по формуле:

$k_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$

Подставляем координаты точек A и B:

$k_{AB} = \frac{-3 - 1}{2 - (-2)} = \frac{-4}{2 + 2} = \frac{-4}{4} = -1$

3. Нахождение углового коэффициента искомой прямой

Искомая прямая перпендикулярна прямой AB. Условием перпендикулярности двух прямых является равенство произведения их угловых коэффициентов $-1$. Обозначим угловой коэффициент искомой прямой как $k_{\perp}$.

$k_{\perp} \cdot k_{AB} = -1$

Отсюда находим $k_{\perp}$:

$k_{\perp} = \frac{-1}{k_{AB}} = \frac{-1}{-1} = 1$

4. Составление уравнения искомой прямой

Искомая прямая проходит через точку $N(1; -2)$ и имеет угловой коэффициент $k_{\perp} = 1$. Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через заданную точку $(x_0; y_0)$ с известным угловым коэффициентом $k$: $y - y_0 = k(x - x_0)$.

Подставляем координаты точки N и найденный угловой коэффициент:

$y - (-2) = 1 \cdot (x - 1)$

$y + 2 = x - 1$

Приведем уравнение к стандартному виду $y = kx + b$:

$y = x - 1 - 2$

$y = x - 3$

Это и есть уравнение искомой прямой. Его также можно записать в общем виде: $x - y - 3 = 0$.

Ответ: $y = x - 3$