Номер 116, страница 176 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 116, страница 176.

Условие.

22.116. Составьте уравнение прямой, которая проходит через точку $A(\sqrt{3}; 5)$ и образует с положительным направлением оси абсцисс угол $60^{\circ}$.

Решение 1.

Решение 3.

Общий вид уравнения прямой — $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — сдвиг по оси ординат.

Угловой коэффициент $k$ равен тангенсу угла $\alpha$, который прямая образует с положительным направлением оси абсцисс. По условию задачи $\alpha = 60°$.

Найдем угловой коэффициент:
$k = \tan(\alpha) = \tan(60°) = \sqrt{3}$.

Теперь уравнение прямой можно записать в виде $y = \sqrt{3}x + b$.

Чтобы найти коэффициент $b$, используем тот факт, что прямая проходит через точку $A(\sqrt{3}; 5)$. Подставим координаты этой точки ($x = \sqrt{3}$, $y = 5$) в уравнение прямой:
$5 = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} + b$
$5 = 3 + b$
$b = 5 - 3 = 2$.

Таким образом, искомое уравнение прямой имеет вид $y = \sqrt{3}x + 2$.

Альтернативный способ — использовать уравнение прямой, проходящей через заданную точку $(x_0, y_0)$ с известным угловым коэффициентом $k$: $y - y_0 = k(x - x_0)$.
Подставим известные значения: $k = \sqrt{3}$ и точка $A(x_0; y_0) = (\sqrt{3}; 5)$.
$y - 5 = \sqrt{3}(x - \sqrt{3})$
$y - 5 = \sqrt{3}x - 3$
$y = \sqrt{3}x - 3 + 5$
$y = \sqrt{3}x + 2$.
Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $y = \sqrt{3}x + 2$