Номер 119, страница 176 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 119, страница 176.

Условие.

22.119. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами в точках $A (-1; 5)$, $B (4; 6)$, $C (3; 1)$, $D (-2; 0)$ является ромбом.

Решение 1.

Решение 3.

Для того чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD является ромбом, необходимо доказать, что все его стороны равны по длине. Длину стороны будем вычислять по формуле расстояния между двумя точками с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Даны вершины четырёхугольника: A(−1; 5), B(4; 6), C(3; 1), D(−2; 0). Последовательно вычислим длины всех сторон.

1. Длина стороны AB:

$|AB| = \sqrt{(4 - (-1))^2 + (6 - 5)^2} = \sqrt{(4 + 1)^2 + 1^2} = \sqrt{5^2 + 1^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}$

2. Длина стороны BC:

$|BC| = \sqrt{(3 - 4)^2 + (1 - 6)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-5)^2} = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26}$

3. Длина стороны CD:

$|CD| = \sqrt{(-2 - 3)^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{(-5)^2 + (-1)^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}$

4. Длина стороны DA:

$|DA| = \sqrt{(-1 - (-2))^2 + (5 - 0)^2} = \sqrt{(-1 + 2)^2 + 5^2} = \sqrt{1^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26}$

Мы получили, что длины всех сторон четырёхугольника равны между собой:

$|AB| = |BC| = |CD| = |DA| = \sqrt{26}$

Поскольку все стороны четырёхугольника ABCD равны, по определению он является ромбом.

Ответ: Так как все стороны четырёхугольника ABCD равны $\sqrt{26}$, он является ромбом, что и требовалось доказать.