Номер 112, страница 176 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 112, страница 176.

Условие.

22.112. Составьте уравнение окружности, диаметром которой является отрезок $MK$, если $M(-3; 4)$, $K(5; 10)$.

Решение 1.

Решение 3.

Общее уравнение окружности с центром в точке $(a; b)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$.

Нахождение центра окружности

Центр окружности является серединой ее диаметра $MK$. Найдем координаты центра $O(a; b)$, вычислив среднее арифметическое координат точек $M(-3; 4)$ и $K(5; 10)$.
$a = \frac{x_M + x_K}{2} = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$
$b = \frac{y_M + y_K}{2} = \frac{4 + 10}{2} = \frac{14}{2} = 7$
Следовательно, центр окружности — точка $O(1; 7)$.

Нахождение радиуса окружности

Радиус $R$ равен половине длины диаметра $MK$. Найдем длину диаметра $MK$ по формуле расстояния между двумя точками:
$MK = \sqrt{(x_K - x_M)^2 + (y_K - y_M)^2} = \sqrt{(5 - (-3))^2 + (10 - 4)^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$.
Длина диаметра равна 10. Тогда радиус равен:
$R = \frac{10}{2} = 5$.
Для уравнения окружности нам нужен квадрат радиуса: $R^2 = 5^2 = 25$.

Составление уравнения окружности

Подставим координаты центра $O(1; 7)$ и значение квадрата радиуса $R^2 = 25$ в общее уравнение окружности:
$(x - 1)^2 + (y - 7)^2 = 25$.

Ответ: $(x - 1)^2 + (y - 7)^2 = 25$.