Номер 108, страница 176 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 108, страница 176.

Условие.

22.108. Четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм, где $B(4; 1)$, $C(-1; 1)$, $D(-2; -2)$. Найдите координаты вершины $A$.

Решение 1.

Решение 3.

Поскольку четырёхугольник $ABCD$ является параллелограммом, его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Следовательно, координаты середины диагонали $AC$ совпадают с координатами середины диагонали $BD$.

Пусть искомые координаты вершины $A$ будут $(x_A; y_A)$.

Координаты середины отрезка с концами в точках $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ находятся по формулам: $x_{сер} = \frac{x_1 + x_2}{2}$ и $y_{сер} = \frac{y_1 + y_2}{2}$.

1. Найдем координаты середины диагонали $BD$, используя заданные координаты точек $B(4; 1)$ и $D(-2; -2)$:

$x_{сер} = \frac{x_B + x_D}{2} = \frac{4 + (-2)}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$y_{сер} = \frac{y_B + y_D}{2} = \frac{1 + (-2)}{2} = \frac{-1}{2}$

Таким образом, точка пересечения диагоналей имеет координаты $(1; -0.5)$.

2. Эта же точка является серединой диагонали $AC$. Выразим её координаты через неизвестные координаты точки $A(x_A; y_A)$ и известные координаты точки $C(-1; 1)$:

$x_{сер} = \frac{x_A + x_C}{2} = \frac{x_A - 1}{2}$

$y_{сер} = \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{y_A + 1}{2}$

3. Приравняем соответствующие координаты, полученные в пунктах 1 и 2, и решим получившиеся уравнения:

Для координаты $x$:

$\frac{x_A - 1}{2} = 1$

$x_A - 1 = 2 \cdot 1$

$x_A = 2 + 1 = 3$

Для координаты $y$:

$\frac{y_A + 1}{2} = -\frac{1}{2}$

$y_A + 1 = 2 \cdot (-\frac{1}{2})$

$y_A + 1 = -1$

$y_A = -1 - 1 = -2$

Следовательно, координаты вершины $A$ равны $(3; -2)$.

Ответ: $A(3; -2)$.