Номер 101, страница 175 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 101, страница 175.

Условие.

22.101. Две окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ имеют внешнее касание в точке $C$. Прямая, проходящая через точку $C$, пересекает окружность с центром $O_1$ в точке $A$, а другую окружность – в точке $B$. Хорда $AC$ равна 12 см, а хорда $BC$ – 18 см. Найдите радиусы окружностей, если $O_1O_2 = 20$ см.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $R_1$ — радиус окружности с центром в точке $O_1$, а $R_2$ — радиус окружности с центром в точке $O_2$.

По условию, две окружности имеют внешнее касание в точке C. Свойство касающихся окружностей гласит, что точка касания и центры окружностей лежат на одной прямой. Следовательно, точки $O_1$, C и $O_2$ лежат на одной прямой. Расстояние между центрами двух касающихся внешним образом окружностей равно сумме их радиусов:$O_1O_2 = O_1C + CO_2 = R_1 + R_2$

Так как по условию $O_1O_2 = 20$ см, мы получаем первое уравнение:$R_1 + R_2 = 20$

Рассмотрим треугольники $\Delta AO_1C$ и $\Delta BO_2C$.

В треугольнике $\Delta AO_1C$ стороны $O_1A$ и $O_1C$ являются радиусами первой окружности, поэтому $O_1A = O_1C = R_1$. Это означает, что $\Delta AO_1C$ — равнобедренный. Углы при его основании AC равны: $\angle O_1AC = \angle O_1CA$.

Аналогично, в треугольнике $\Delta BO_2C$ стороны $O_2B$ и $O_2C$ являются радиусами второй окружности, поэтому $O_2B = O_2C = R_2$. Это означает, что $\Delta BO_2C$ — равнобедренный. Углы при его основании BC равны: $\angle O_2BC = \angle O_2CB$.

Прямая, проходящая через точки A, C, B, и прямая, проходящая через центры $O_1$, C, $O_2$, пересекаются в точке C. Углы $\angle O_1CA$ и $\angle O_2CB$ являются вертикальными, следовательно, они равны: $\angle O_1CA = \angle O_2CB$.

Из равенств углов, полученных выше, следует:$\angle O_1AC = \angle O_1CA = \angle O_2CB = \angle O_2BC$.

Так как у треугольников $\Delta AO_1C$ и $\Delta BO_2C$ соответственные углы равны (например, $\angle O_1CA = \angle O_2CB$ и $\angle O_1AC = \angle O_2BC$), эти треугольники подобны по двум углам (признак подобия AA).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответственных сторон:$\frac{O_1C}{O_2C} = \frac{AC}{BC}$

Подставим известные значения:$\frac{R_1}{R_2} = \frac{12}{18}$

Сократив дробь, получим второе уравнение:$\frac{R_1}{R_2} = \frac{2}{3}$, откуда $R_1 = \frac{2}{3}R_2$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

1) $R_1 + R_2 = 20$

2) $R_1 = \frac{2}{3}R_2$

Подставим выражение для $R_1$ из второго уравнения в первое:$\frac{2}{3}R_2 + R_2 = 20$

$\frac{5}{3}R_2 = 20$

$R_2 = 20 \cdot \frac{3}{5} = 4 \cdot 3 = 12$ см.

Теперь найдем $R_1$, подставив значение $R_2$ в первое уравнение:$R_1 + 12 = 20$

$R_1 = 20 - 12 = 8$ см.

Таким образом, радиус первой окружности равен 8 см, а второй — 12 см.

Ответ: 8 см и 12 см.