Номер 98, страница 175 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 98, страница 175.

Условие.

22.98. Отрезок $AB$ – диаметр окружности, $AB = 24$ см. Точка $A$ удалена от касательной к этой окружности на $4$ см. Найдите расстояние от точки $B$ до этой касательной.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $O$ — центр окружности, а $l$ — касательная к ней. Так как отрезок $AB$ является диаметром, то точка $O$ — середина отрезка $AB$.

Диаметр окружности равен $AB = 24$ см, следовательно, её радиус $R$ равен:
$R = \frac{AB}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

Расстояние от центра окружности до любой касательной к ней равно радиусу. Таким образом, расстояние от точки $O$ до прямой $l$ составляет 12 см.

Пусть $A_1$ и $B_1$ — проекции точек $A$ и $B$ на касательную $l$. Тогда $AA_1$ и $BB_1$ — это расстояния от точек $A$ и $B$ до касательной. По условию, $AA_1 = 4$ см.

Так как $AA_1 \perp l$ и $BB_1 \perp l$, то $AA_1 \parallel BB_1$. Фигура $ABB_1A_1$ является прямоугольной трапецией с основаниями $AA_1$ и $BB_1$. Отрезок, соединяющий центр окружности $O$ с его проекцией на прямую $l$, является средней линией этой трапеции, поскольку $O$ — середина боковой стороны $AB$.

Длина средней линии трапеции равна полусумме длин её оснований. Расстояние от точки $O$ до прямой $l$ равно 12 см, поэтому:
$d(O, l) = \frac{AA_1 + BB_1}{2}$

Подставим известные значения в формулу:
$12 = \frac{4 + BB_1}{2}$

Решим уравнение относительно $BB_1$:
$24 = 4 + BB_1$
$BB_1 = 24 - 4$
$BB_1 = 20$ см.

Ответ: 20 см.