Номер 93, страница 174 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 93, страница 174.

Условие.

22.93. Общая хорда двух пересекающихся окружностей является стороной правильного треугольника, вписанного в одну окружность, и стороной квадрата, вписанного в другую окружность. Длина этой хорды равна $a$. Найдите расстояние между центрами окружностей, если они лежат по разные стороны от хорды.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $O_1$ и $R_1$ — центр и радиус первой окружности, в которую вписан правильный треугольник. Пусть $O_2$ и $R_2$ — центр и радиус второй окружности, в которую вписан квадрат. Пусть $AB$ — общая хорда, длина которой по условию равна $a$.

Линия, соединяющая центры окружностей $O_1O_2$, перпендикулярна общей хорде $AB$ и делит ее пополам в точке $M$. Таким образом, $AM = MB = \frac{a}{2}$.

Поскольку центры окружностей лежат по разные стороны от хорды, искомое расстояние между центрами $d$ будет равно сумме расстояний от каждого центра до хорды: $d = O_1M + O_2M$. Эти расстояния мы найдем из прямоугольных треугольников $\triangle O_1MA$ и $\triangle O_2MA$.

1. Окружность с вписанным правильным треугольником.

Сторона правильного треугольника $a_3$, вписанного в окружность радиуса $R_1$, связана с радиусом формулой $a_3 = R_1\sqrt{3}$.
По условию, $a_3 = a$, следовательно, $a = R_1\sqrt{3}$, откуда радиус первой окружности $R_1 = \frac{a}{\sqrt{3}}$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle O_1MA$. По теореме Пифагора: $O_1M^2 = O_1A^2 - AM^2$.
Здесь $O_1A = R_1 = \frac{a}{\sqrt{3}}$ и $AM = \frac{a}{2}$.
Подставляем значения:
$O_1M^2 = \left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{a^2}{3} - \frac{a^2}{4} = \frac{4a^2 - 3a^2}{12} = \frac{a^2}{12}$.
Отсюда расстояние от центра $O_1$ до хорды $AB$ равно:
$O_1M = \sqrt{\frac{a^2}{12}} = \frac{a}{\sqrt{12}} = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.

2. Окружность с вписанным квадратом.

Сторона квадрата $a_4$, вписанного в окружность радиуса $R_2$, связана с радиусом формулой $a_4 = R_2\sqrt{2}$.
По условию, $a_4 = a$, следовательно, $a = R_2\sqrt{2}$, откуда радиус второй окружности $R_2 = \frac{a}{\sqrt{2}}$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle O_2MA$. По теореме Пифагора: $O_2M^2 = O_2A^2 - AM^2$.
Здесь $O_2A = R_2 = \frac{a}{\sqrt{2}}$ и $AM = \frac{a}{2}$.
Подставляем значения:
$O_2M^2 = \left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{a^2}{2} - \frac{a^2}{4} = \frac{2a^2 - a^2}{4} = \frac{a^2}{4}$.
Отсюда расстояние от центра $O_2$ до хорды $AB$ равно:
$O_2M = \sqrt{\frac{a^2}{4}} = \frac{a}{2}$.

3. Расстояние между центрами.

Искомое расстояние равно сумме найденных расстояний:
$d = O_1M + O_2M = \frac{a\sqrt{3}}{6} + \frac{a}{2}$.
Приведем к общему знаменателю:
$d = \frac{a\sqrt{3}}{6} + \frac{3a}{6} = \frac{a\sqrt{3} + 3a}{6} = \frac{a(3 + \sqrt{3})}{6}$.

Ответ: $\frac{a(3 + \sqrt{3})}{6}$