Номер 100, страница 175 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 100, страница 175.

Условие.

22.100. В угол, величина которого составляет $60^{\circ}$, вписаны две окружности, касающиеся друг друга внешним образом. Найдите радиус большей из них, если радиус меньшей равен 6 см.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дан угол $A$ величиной $60^\circ$. Две окружности, касающиеся друг друга и сторон угла, вписаны в этот угол. Обозначим центр и радиус меньшей окружности как $O_1$ и $r$ соответственно, а большей – как $O_2$ и $R$. Из условия известно, что $r = 6$ см. Требуется найти $R$.

Центры окружностей, вписанных в угол, лежат на его биссектрисе. Биссектриса угла $A$ делит его на два угла по $30^\circ$. Таким образом, центры $O_1$ и $O_2$ лежат на биссектрисе угла $A$.

Проведем из центра меньшей окружности $O_1$ перпендикуляр $O_1K_1$ к одной из сторон угла. $O_1K_1$ является радиусом, поэтому $O_1K_1 = r = 6$ см. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AO_1K_1$. Угол $\angle O_1AK_1 = 30^\circ$. Расстояние от вершины угла до центра меньшей окружности $AO_1$ является гипотенузой этого треугольника. Найдем ее длину:

$\sin(\angle O_1AK_1) = \frac{O_1K_1}{AO_1}$

$\sin(30^\circ) = \frac{r}{AO_1} \implies \frac{1}{2} = \frac{6}{AO_1}$

$AO_1 = 6 \cdot 2 = 12$ см.

Аналогично, проведем из центра большей окружности $O_2$ перпендикуляр $O_2K_2$ к той же стороне угла. $O_2K_2$ является радиусом $R$. В прямоугольном треугольнике $\triangle AO_2K_2$ катет $O_2K_2 = R$, а угол $\angle O_2AK_2 = 30^\circ$. Выразим гипотенузу $AO_2$ через $R$:

$\sin(\angle O_2AK_2) = \frac{O_2K_2}{AO_2}$

$\sin(30^\circ) = \frac{R}{AO_2} \implies \frac{1}{2} = \frac{R}{AO_2}$

$AO_2 = 2R$.

По условию, окружности касаются друг друга внешним образом. Это означает, что расстояние между их центрами равно сумме их радиусов:

$O_1O_2 = r + R = 6 + R$.

Поскольку оба центра лежат на биссектрисе угла $A$, расстояние между ними также можно выразить как разность расстояний от вершины угла до каждого из центров:

$O_1O_2 = AO_2 - AO_1$.

Приравняем два выражения для $O_1O_2$ и подставим известные значения:

$r + R = AO_2 - AO_1$

$6 + R = 2R - 12$

Решим полученное уравнение относительно $R$:

$2R - R = 6 + 12$

$R = 18$ см.

Ответ: 18 см.