Номер 99, страница 175 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 99, страница 175.

Условие.

22.99. Две окружности, расстояние между центрами которых равно 17 см, имеют внешнее касание. Найдите радиусы этих окружностей, если расстояние между точками касания окружностей с их общей внешней касательной равно 15 см.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $R_1$ и $R_2$ — радиусы искомых окружностей, а $O_1$ и $O_2$ — их центры. Предположим, что $R_1 \ge R_2$.

Поскольку окружности касаются внешним образом, расстояние между их центрами равно сумме их радиусов:

$O_1O_2 = R_1 + R_2$

Из условия задачи известно, что расстояние между центрами равно 17 см. Таким образом, мы получаем первое уравнение:

$R_1 + R_2 = 17$

Пусть общая внешняя касательная касается первой окружности в точке $A$, а второй — в точке $B$. Тогда отрезки $O_1A$ и $O_2B$ являются радиусами, проведенными в точки касания, а значит, они перпендикулярны касательной $AB$. Таким образом, $O_1A \perp AB$ и $O_2B \perp AB$.

Фигура $O_1ABO_2$ является прямоугольной трапецией с основаниями $O_1A = R_1$ и $O_2B = R_2$ и боковой стороной $AB$, которая является высотой трапеции. Длина отрезка $AB$ по условию равна 15 см.

Проведем из центра меньшей окружности $O_2$ высоту $O_2C$ к радиусу $O_1A$. В результате получим прямоугольник $CABO_2$ и прямоугольный треугольник $O_1CO_2$.

В прямоугольнике $CABO_2$ сторона $CO_2$ равна стороне $AB$, то есть $CO_2 = 15$ см.

В прямоугольном треугольнике $O_1CO_2$:

• гипотенуза $O_1O_2 = 17$ см;
• катет $CO_2 = 15$ см;
• катет $O_1C = O_1A - CA = O_1A - O_2B = R_1 - R_2$.

Применим теорему Пифагора для треугольника $O_1CO_2$:

$(O_1O_2)^2 = (O_1C)^2 + (CO_2)^2$

$17^2 = (R_1 - R_2)^2 + 15^2$

$289 = (R_1 - R_2)^2 + 225$

$(R_1 - R_2)^2 = 289 - 225$

$(R_1 - R_2)^2 = 64$

$R_1 - R_2 = \sqrt{64} = 8$ (берем положительное значение, так как мы предположили $R_1 \ge R_2$)

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} R_1 + R_2 = 17 \\ R_1 - R_2 = 8 \end{cases}$

Сложим два уравнения:

$(R_1 + R_2) + (R_1 - R_2) = 17 + 8$

$2R_1 = 25$

$R_1 = 12.5$ см

Подставим найденное значение $R_1$ в первое уравнение:

$12.5 + R_2 = 17$

$R_2 = 17 - 12.5$

$R_2 = 4.5$ см

Ответ: радиусы окружностей равны 12.5 см и 4.5 см.