Номер 105, страница 175 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 105, страница 175.

Условие.

22.105. Две окружности пересекаются в точках А и В. Через точку В проведена прямая, пересекающая окружности в точках С и D. В точках С и D к данным окружностям проведены касательные, которые пересекаются в точке Р. Докажите, что $\angle DAC + \angle DPC = 180^\circ$.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть первая окружность, проходящая через точки $A, B, C$, называется $\omega_1$, а вторая окружность, проходящая через точки $A, B, D$, — $\omega_2$.

Рассмотрим окружность $\omega_1$. Прямая $PC$ является касательной к этой окружности в точке $C$. Согласно теореме об угле между касательной и хордой, угол между касательной $PC$ и хордой $BC$ равен вписанному углу, опирающемуся на дугу $BC$, не содержащую точку $A$. Этот угол — $\angle BAC$. Таким образом, получаем равенство:

$\angle PCB = \angle BAC$ (1)

Аналогично, рассмотрим окружность $\omega_2$. Прямая $PD$ является касательной к этой окружности в точке $D$. По теореме об угле между касательной и хордой, угол между касательной $PD$ и хордой $BD$ равен вписанному углу, опирающемуся на дугу $BD$, не содержащую точку $A$. Этот угол — $\angle BAD$. Таким образом, получаем равенство:

$\angle PDB = \angle BAD$ (2)

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle PCD$. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$, следовательно:

$\angle DPC + \angle PCD + \angle PDC = 180^\circ$ (3)

По условию задачи, точки $C, B$ и $D$ лежат на одной прямой. Это означает, что угол $\angle PCD$ в треугольнике $\triangle PCD$ совпадает с углом $\angle PCB$, а угол $\angle PDC$ совпадает с углом $\angle PDB$. Поэтому мы можем переписать равенство (3), используя углы, связанные с хордами:

$\angle DPC + \angle PCB + \angle PDB = 180^\circ$

Подставим в это равенство выражения для $\angle PCB$ и $\angle PDB$ из равенств (1) и (2):

$\angle DPC + \angle BAC + \angle BAD = 180^\circ$

Сумма углов $\angle BAC$ и $\angle BAD$ образует угол $\angle DAC$. То есть, $\angle BAC + \angle BAD = \angle DAC$. Подставив это в последнее уравнение, получаем:

$\angle DPC + \angle DAC = 180^\circ$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано, $\angle DAC + \angle DPC = 180^\circ$.