Номер 109, страница 176 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 109, страница 176.

Условие.

22.109. Найдите координаты точки, которая принадлежит оси ординат и равноудалена от точек $C (3; 2)$ и $D (1; -6)$.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть искомая точка $M$ имеет координаты $(x, y)$.

По условию, точка $M$ принадлежит оси ординат, следовательно, её абсцисса (координата $x$) равна нулю. Таким образом, координаты точки $M$ можно записать как $(0, y)$.

Также по условию, точка $M$ равноудалена от точек $C(3; 2)$ и $D(1; -6)$. Это означает, что расстояние $MC$ равно расстоянию $MD$. Чтобы избежать работы с квадратными корнями, удобнее приравнять квадраты этих расстояний: $MC^2 = MD^2$.

Формула для нахождения квадрата расстояния между двумя точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ имеет вид: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.

Найдем квадрат расстояния $MC^2$ между точками $M(0, y)$ и $C(3, 2)$:
$MC^2 = (3 - 0)^2 + (2 - y)^2 = 3^2 + (2 - y)^2 = 9 + 4 - 4y + y^2 = 13 - 4y + y^2$.

Найдем квадрат расстояния $MD^2$ между точками $M(0, y)$ и $D(1, -6)$:
$MD^2 = (1 - 0)^2 + (-6 - y)^2 = 1^2 + (-(6+y))^2 = 1 + (6 + y)^2 = 1 + 36 + 12y + y^2 = 37 + 12y + y^2$.

Теперь приравняем полученные выражения для $MC^2$ и $MD^2$ и решим уравнение относительно $y$:
$13 - 4y + y^2 = 37 + 12y + y^2$

Вычтем $y^2$ из обеих частей уравнения:
$13 - 4y = 37 + 12y$

Сгруппируем слагаемые с переменной $y$ в одной части уравнения, а свободные члены — в другой:
$13 - 37 = 12y + 4y$
$-24 = 16y$

Найдем значение $y$:
$y = \frac{-24}{16} = -\frac{3}{2} = -1.5$

Таким образом, искомая точка имеет координаты $(0; -1.5)$.

Ответ: $(0; -1.5)$