Номер 102, страница 175 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 102, страница 175.

Условие.

22.102. Перпендикуляр, опущенный из точки окружности на её диаметр, делит диаметр на два отрезка, разность которых равна 21 см. Найдите длину окружности, если длина перпендикуляра равна 10 см.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $a$ и $b$ — длины отрезков, на которые перпендикуляр, опущенный из точки на окружности, делит ее диаметр. Пусть $h$ — длина этого перпендикуляра. Из условия задачи мы знаем, что $h = 10$ см, а разность длин отрезков равна 21 см. Пусть $a$ будет большим отрезком, тогда $a - b = 21$ см.

Треугольник, образованный точкой на окружности и концами диаметра, является прямоугольным, поскольку вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой. Перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу (диаметр), является высотой этого треугольника.

Существует свойство высоты прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе: квадрат высоты равен произведению проекций катетов на гипотенузу (то есть произведению отрезков, на которые высота делит гипотенузу). Таким образом, мы можем записать:
$h^2 = a \cdot b$

Подставим известное значение $h=10$:
$10^2 = a \cdot b$
$a \cdot b = 100$

Теперь у нас есть система двух уравнений с двумя неизвестными $a$ и $b$:
$a - b = 21$
$a \cdot b = 100$

Длина окружности $L$ находится по формуле $L = \pi D$, где $D$ — это диаметр. Диаметр равен сумме отрезков: $D = a + b$. Чтобы найти $D$, можно решить систему, либо использовать алгебраическое тождество, связывающее сумму, разность и произведение двух чисел:
$(a+b)^2 = (a-b)^2 + 4ab$

Подставив известные значения, получим:
$D^2 = (a+b)^2 = 21^2 + 4 \cdot 100$
$D^2 = 441 + 400$
$D^2 = 841$

Отсюда находим диаметр (так как длина не может быть отрицательной, берем только положительный корень):
$D = \sqrt{841} = 29$ см.

Теперь мы можем найти длину окружности:
$L = \pi D = 29\pi$ см.

Ответ: $29\pi$ см.