Номер 97, страница 175 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 97, страница 175.

Условие.

22.97. В окружности проведены хорды $AK$ и $BM$, пересекающиеся в точке $C$. Найдите отрезок $KM$, если $AB = 4$ см, $BC = 2$ см, $KC = 8$ см.

Решение 1.

Решение 3.

Рассмотрим треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle MKC $, образованные пересечением хорд $AK$ и $BM$.

1. Углы $ \angle KAB $ и $ \angle KMB $ (или $ \angle CAB $ и $ \angle CMK $) являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу $KB$. Следовательно, эти углы равны: $ \angle CAB = \angle CMK $.

2. Углы $ \angle AKM $ и $ \angle ABM $ (или $ \angle CKM $ и $ \angle CBA $) являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу $AM$. Следовательно, эти углы равны: $ \angle CKM = \angle CBA $.

Поскольку два угла треугольника $ \triangle ABC $ соответственно равны двум углам треугольника $ \triangle MKC $, то эти треугольники подобны по первому признаку подобия (по двум углам). Запишем подобие с учетом соответствия вершин: $ \triangle ABC \sim \triangle MKC $.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:

$ \frac{AB}{MK} = \frac{BC}{KC} = \frac{AC}{MC} $

Для нахождения длины отрезка $KM$ воспользуемся частью пропорции с известными нам величинами:

$ \frac{AB}{MK} = \frac{BC}{KC} $

Подставим значения из условия задачи: $ AB = 4 $ см, $ BC = 2 $ см, $ KC = 8 $ см.

$ \frac{4}{KM} = \frac{2}{8} $

Выразим $KM$ из полученного уравнения:

$ KM = \frac{4 \cdot 8}{2} = \frac{32}{2} = 16 $ см.

Ответ: 16 см.