Номер 91, страница 174 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 91, страница 174.

Условие.

22.91. Как относится сторона правильного треугольника, вписанного в окружность, к стороне правильного треугольника, описанного около этой окружности?

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $R$ — радиус данной окружности. Обозначим сторону правильного треугольника, вписанного в эту окружность, как $a_{вп}$, а сторону правильного треугольника, описанного около этой окружности, как $a_{оп}$.

1. Найдем сторону вписанного треугольника ($a_{вп}$)
Сторона правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса $R$, выражается формулой: $a_n = 2R \sin\left(\frac{180^\circ}{n}\right)$.
Для правильного треугольника $n = 3$. Подставим это значение в формулу:
$a_{вп} = 2R \sin\left(\frac{180^\circ}{3}\right) = 2R \sin(60^\circ)$.
Так как $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:
$a_{вп} = 2R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = R\sqrt{3}$.

2. Найдем сторону описанного треугольника ($a_{оп}$)
Для треугольника, описанного около окружности, эта окружность является вписанной. Ее радиус $R$ является радиусом вписанной окружности ($r$), то есть $r = R$.
Сторона правильного n-угольника, описанного около окружности радиуса $r$, выражается формулой: $a_n = 2r \tan\left(\frac{180^\circ}{n}\right)$.
Для правильного треугольника $n = 3$. Подставим значения $n=3$ и $r=R$ в формулу:
$a_{оп} = 2R \tan\left(\frac{180^\circ}{3}\right) = 2R \tan(60^\circ)$.
Так как $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$, получаем:
$a_{оп} = 2R \cdot \sqrt{3} = 2R\sqrt{3}$.

3. Найдем отношение сторон
Теперь найдем искомое отношение стороны вписанного треугольника к стороне описанного треугольника:
$\frac{a_{вп}}{a_{оп}} = \frac{R\sqrt{3}}{2R\sqrt{3}}$.
Сократив $R\sqrt{3}$ в числителе и знаменателе, получаем:
$\frac{a_{вп}}{a_{оп}} = \frac{1}{2}$.

Таким образом, сторона правильного треугольника, вписанного в окружность, относится к стороне правильного треугольника, описанного около той же окружности, как 1 к 2.
Ответ: 1:2.