Номер 89, страница 174 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 89, страница 174.

Условие.

22.89. Центр окружности, описанной около четырёхугольника ABCD, принадлежит его стороне AD. Найдите углы данного четырёхугольника, если $\angle ACB = 30^{\circ}$, $\angle CBD = 20^{\circ}$.

Решение 1.

Решение 3.

Поскольку центр окружности, описанной около четырёхугольника $ABCD$, принадлежит его стороне $AD$, то сторона $AD$ является диаметром этой окружности.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен $90°$. Следовательно, углы $∠ABD$ и $∠ACD$ являются прямыми:

$∠ABD = 90°$

$∠ACD = 90°$

Вписанные углы, которые опираются на одну и ту же дугу, равны.

1. Углы $∠ACB$ и $∠ADB$ опираются на дугу $AB$. По условию $∠ACB = 30°$, следовательно, $∠ADB = 30°$.

2. Углы $∠CBD$ и $∠CAD$ опираются на дугу $CD$. По условию $∠CBD = 20°$, следовательно, $∠CAD = 20°$.

Теперь мы можем найти все углы четырёхугольника $ABCD$.

Угол A (∠DAB)

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABD$ (так как $∠ABD = 90°$). Сумма углов в треугольнике равна $180°$.

$∠DAB = 180° - ∠ABD - ∠ADB = 180° - 90° - 30° = 60°$.

Угол B (∠ABC)

Этот угол является суммой двух углов: $∠ABD$ и $∠CBD$.

$∠ABC = ∠ABD + ∠CBD = 90° + 20° = 110°$.

Угол C (∠BCD)

Этот угол является суммой двух углов: $∠BCA$ и $∠ACD$.

$∠BCD = ∠BCA + ∠ACD = 30° + 90° = 120°$.

Угол D (∠CDA)

Этот угол является суммой двух углов: $∠CDB$ и $∠ADB$. Мы уже знаем, что $∠ADB = 30°$.

Угол $∠CDB$ опирается на дугу $BC$, так же как и угол $∠CAB$. Следовательно, $∠CDB = ∠CAB$.

Угол $∠DAB$ состоит из углов $∠CAD$ и $∠CAB$. Мы нашли, что $∠DAB = 60°$ и $∠CAD = 20°$.

$∠CAB = ∠DAB - ∠CAD = 60° - 20° = 40°$.

Значит, $∠CDB = 40°$.

Теперь найдем угол $∠CDA$:

$∠CDA = ∠CDB + ∠ADB = 40° + 30° = 70°$.

Для проверки можно убедиться, что сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна $180°$:

$∠DAB + ∠BCD = 60° + 120° = 180°$.

$∠ABC + ∠CDA = 110° + 70° = 180°$.

Все вычисления верны.

Ответ: Углы четырёхугольника равны $60°, 110°, 120°, 70°$.