Номер 88, страница 174 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 88, страница 174.

Условие.

22.88. Диагональ $BD$ четырёхугольника $ABCD$ является диаметром его описанной окружности, $M$ – точка пересечения его диагоналей, $\angle ABD = 32^\circ$, $\angle CBD = 64^\circ$. Найдите угол $BMC$.

Решение 1.

Решение 3.

Поскольку диагональ $BD$ четырёхугольника $ABCD$ является диаметром его описанной окружности, то углы, опирающиеся на этот диаметр, являются прямыми. Это означает, что треугольники $ABD$ и $CBD$ — прямоугольные, с прямыми углами при вершинах $A$ и $C$ соответственно.

$∠BAD = 90°$

$∠BCD = 90°$

Искомый угол $∠BMC$ является углом в треугольнике $BMC$. Сумма углов в треугольнике равна $180°$, поэтому для нахождения $∠BMC$ нам нужно определить два других угла этого треугольника: $∠MBC$ и $∠MCB$.

$∠BMC = 180° - ∠MBC - ∠MCB$

1. Угол $∠MBC$ совпадает с углом $∠CBD$, который по условию задачи равен $64°$.

$∠MBC = ∠CBD = 64°$

2. Угол $∠MCB$ совпадает с углом $∠ACB$. Так как четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность, то вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Углы $∠ACB$ и $∠ADB$ оба опираются на дугу $AB$, следовательно:

$∠ACB = ∠ADB$

3. Найдём величину угла $∠ADB$ из прямоугольного треугольника $ABD$. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90°$.

$∠ADB = 90° - ∠ABD$

Подставим известное из условия значение $∠ABD = 32°$:

$∠ADB = 90° - 32° = 58°$

Следовательно, $∠MCB = ∠ACB = 58°$.

4. Теперь мы можем вычислить угол $∠BMC$:

$∠BMC = 180° - ∠MBC - ∠MCB = 180° - 64° - 58° = 180° - 122° = 58°$

Ответ: $58°$