Номер 82, страница 174 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 82, страница 174.

Условие.

22.82. Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне и образует с основанием трапеции угол $30^\circ$. Найдите площадь трапеции, если радиус окружности, описанной около неё, равен $R$.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания ($AD > BC$), а $AB$ и $CD$ — боковые стороны. По условию, трапеция вписана в окружность радиуса $R$. Диагональ $AC$ перпендикулярна боковой стороне $CD$, то есть $\angle ACD = 90^\circ$. Угол между диагональю $AC$ и основанием $AD$ составляет $30^\circ$, то есть $\angle CAD = 30^\circ$.

Нахождение сторон трапеции

Рассмотрим треугольник $ACD$. Так как трапеция вписана в окружность, то и треугольник $ACD$ вписан в эту же окружность. По условию, угол $\angle ACD = 90^\circ$. Вписанный угол, равный $90^\circ$, опирается на диаметр окружности. Следовательно, большее основание трапеции $AD$ является диаметром описанной окружности. Отсюда получаем:

$AD = 2R$.

В прямоугольном треугольнике $ACD$ мы можем найти другие его элементы. Угол при основании трапеции $\angle CDA$ равен:

$\angle CDA = 180^\circ - \angle CAD - \angle ACD = 180^\circ - 30^\circ - 90^\circ = 60^\circ$.

Найдем боковую сторону $CD$ из этого же треугольника:

$CD = AD \cdot \cos(\angle CDA) = 2R \cdot \cos(60^\circ) = 2R \cdot \frac{1}{2} = R$.

Поскольку трапеция равнобокая, то и другая боковая сторона $AB = CD = R$.

Для нахождения меньшего основания $BC$ проведем высоту $CH$ из вершины $C$ на основание $AD$. В равнобокой трапеции отрезок $HD$, который высота отсекает от большего основания, можно найти по формуле $HD = \frac{AD - BC}{2}$. В то же время, из прямоугольного треугольника $CHD$ имеем:

$HD = CD \cdot \cos(\angle CDA) = R \cdot \cos(60^\circ) = R \cdot \frac{1}{2} = \frac{R}{2}$.

Приравнивая два выражения для $HD$, получаем:

$\frac{R}{2} = \frac{2R - BC}{2} \Rightarrow R = 2R - BC \Rightarrow BC = R$.

Вычисление площади трапеции

Площадь трапеции $S$ вычисляется по формуле $S = \frac{AD + BC}{2} \cdot h$, где $h$ — высота трапеции.

Найдем высоту $h = CH$ из прямоугольного треугольника $CHD$:

$h = CD \cdot \sin(\angle CDA) = R \cdot \sin(60^\circ) = R\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь подставим найденные длины оснований и высоту в формулу площади:

$S = \frac{2R + R}{2} \cdot \frac{R\sqrt{3}}{2} = \frac{3R}{2} \cdot \frac{R\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}R^2}{4}$.

Ответ: $\frac{3\sqrt{3}R^2}{4}$.