Номер 78, страница 173 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 78, страница 173.

Условие.

22.78. Окружность, вписанная в равнобокую трапецию, делит точкой касания боковую сторону на отрезки длиной 8 см и 18 см. Найдите площадь трапеции.

Решение 1.

Решение 3.

Решение:

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ и боковыми сторонами $AB$ и $CD$. В трапецию вписана окружность, которая касается боковой стороны $CD$ в точке $K$. По условию, точка касания делит сторону на отрезки длиной 8 см и 18 см. Пусть $CK = 8$ см и $KD = 18$ см.

Длина боковой стороны трапеции равна сумме длин этих отрезков:
$CD = CK + KD = 8 + 18 = 26$ см. Так как трапеция равнобокая, то $AB = CD = 26$ см.

Воспользуемся свойством касательных, проведенных к окружности из одной точки: отрезки касательных от вершины до точек касания равны. Пусть окружность касается оснований $BC$ и $AD$ в точках $M$ и $L$ соответственно.
Тогда $CM = CK = 8$ см.
И $DL = DK = 18$ см.
В силу симметрии равнобокой трапеции относительно оси, проходящей через середины оснований, точки касания $M$ и $L$ являются серединами оснований $BC$ и $AD$.
Следовательно, длина верхнего основания $BC = 2 \cdot CM = 2 \cdot 8 = 16$ см.
Длина нижнего основания $AD = 2 \cdot DL = 2 \cdot 18 = 36$ см.

Высота трапеции, в которую можно вписать окружность, равна диаметру этой окружности ($h=2r$). Найдем радиус вписанной окружности. Рассмотрим центр окружности $O$. Треугольник $COD$ является прямоугольным, так как его стороны $CO$ и $DO$ лежат на биссектрисах внутренних односторонних углов $C$ и $D$ при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $CD$ (сумма этих углов равна 180°, а сумма их половин — 90°). Радиус $OK$, проведенный в точку касания, является высотой этого прямоугольного треугольника, опущенной на гипотенузу $CD$.
Высота в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, равна среднему геометрическому проекций катетов на гипотенузу. В нашем случае это отрезки $CK$ и $KD$.
$r = OK = \sqrt{CK \cdot KD} = \sqrt{8 \cdot 18} = \sqrt{144} = 12$ см.
Тогда высота трапеции $h = 2r = 2 \cdot 12 = 24$ см.

Теперь найдем площадь трапеции по формуле: $S = \frac{a+b}{2}h$, где $a$ и $b$ — основания, $h$ — высота.
$S = \frac{AD+BC}{2} \cdot h = \frac{36+16}{2} \cdot 24 = \frac{52}{2} \cdot 24 = 26 \cdot 24 = 624$ см².

Ответ: 624 см².