Номер 73, страница 173 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 73, страница 173.

Условие.

22.73. Основания равнобокой трапеции равны 1 см и 17 см, а диагональ делит её тупой угол пополам. Найдите площадь трапеции.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, где $AD > BC$. По условию, $BC = 1$ см, $AD = 17$ см. Так как трапеция равнобокая, ее боковые стороны равны: $AB = CD$.

Диагональ $AC$ делит тупой угол $BCD$ пополам. Это означает, что $\angle BCA = \angle ACD$.

Поскольку основания трапеции параллельны ($AD \parallel BC$), то углы $\angle BCA$ и $\angle CAD$ являются внутренними накрест лежащими углами при секущей $AC$. Следовательно, они равны: $\angle BCA = \angle CAD$.

Из двух полученных равенств следует, что $\angle ACD = \angle CAD$. Это означает, что треугольник $ACD$ является равнобедренным, и его стороны, лежащие против равных углов, равны: $CD = AD$.

Так как $AD = 17$ см, то и боковая сторона $CD = 17$ см.

Для нахождения площади трапеции нам необходима ее высота. Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ к основанию $AD$. В равнобокой трапеции отрезок $HD$, который высота отсекает на большем основании, можно найти по формуле:

$HD = \frac{AD - BC}{2}$

Подставим известные значения:

$HD = \frac{17 - 1}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $CHD$. В нем гипотенуза $CD = 17$ см и катет $HD = 8$ см. Найдем второй катет $CH$, который является высотой трапеции $h$, по теореме Пифагора:

$CD^2 = CH^2 + HD^2$

$h^2 = CD^2 - HD^2$

$h^2 = 17^2 - 8^2 = 289 - 64 = 225$

$h = \sqrt{225} = 15$ см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:

$S = \frac{AD + BC}{2} \cdot h$

Подставим все найденные значения:

$S = \frac{17 + 1}{2} \cdot 15 = \frac{18}{2} \cdot 15 = 9 \cdot 15 = 135$ см².

Ответ: 135 см².