Номер 71, страница 173 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 71, страница 173.

Условие.

22.71. Большая боковая сторона прямоугольной трапеции равна 16 см, а острый угол — $30^\circ$. Найдите площадь этой трапеции, если в нее можно вписать окружность.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания, а $AB$ и $CD$ — боковые стороны. Так как трапеция прямоугольная, одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям. Пусть $\angle A = \angle B = 90^\circ$. В этом случае $AB$ является меньшей боковой стороной и высотой трапеции ($h$), а $CD$ — большей (наклонной) боковой стороной.

Из условия задачи имеем: большая боковая сторона $CD = 16$ см, а острый угол при большем основании $\angle D = 30^\circ$.

Для нахождения высоты трапеции опустим перпендикуляр $CH$ из вершины $C$ на основание $AD$. Мы получим прямоугольный треугольник $CHD$, в котором $CD$ — гипотенуза, а катет $CH$ равен высоте трапеции.

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. Следовательно, высота трапеции $h$ равна:
$h = CH = CD \cdot \sin(30^\circ) = 16 \cdot \frac{1}{2} = 8$ см.

Поскольку трапеция прямоугольная, её высота $h$ равна меньшей боковой стороне $AB$. Значит, $AB = 8$ см.

В задаче указано, что в трапецию можно вписать окружность. Это возможно только в том случае, если суммы длин противоположных сторон трапеции равны. То есть, сумма оснований равна сумме боковых сторон:
$AD + BC = AB + CD$

Подставим известные значения длин боковых сторон $AB$ и $CD$:
$AD + BC = 8 + 16 = 24$ см.

Площадь трапеции находится по формуле:
$S = \frac{AD + BC}{2} \cdot h$

Теперь мы можем вычислить площадь, подставив найденные значения суммы оснований и высоты:
$S = \frac{24}{2} \cdot 8 = 12 \cdot 8 = 96$ см².

Ответ: 96 см².