Номер 65, страница 172 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 65, страница 172.

Условие.

22.65. Большая диагональ ромба равна $c$, а тупой угол – $\alpha$. Найдите периметр ромба.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $a$ — сторона ромба. Периметр ромба $P$ вычисляется по формуле $P = 4a$.

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом, делят друг друга пополам и являются биссектрисами углов ромба. Таким образом, ромб делится диагоналями на четыре равных прямоугольных треугольника.

Рассмотрим один из таких треугольников. Его гипотенуза равна стороне ромба $a$. Катеты равны половинам диагоналей. Так как большая диагональ равна $c$, то один из катетов равен $\frac{c}{2}$. Угол, противолежащий этому катету, равен половине тупого угла $\alpha$, то есть $\frac{\alpha}{2}$.

По определению синуса в прямоугольном треугольнике (отношение противолежащего катета к гипотенузе):

$\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{c/2}{a}$

Отсюда выразим сторону ромба $a$:

$a = \frac{c/2}{\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)} = \frac{c}{2\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}$

Теперь найдем периметр ромба:

$P = 4a = 4 \cdot \frac{c}{2\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)} = \frac{2c}{\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}$

Ответ: $\frac{2c}{\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}$