Номер 61, страница 172 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 61, страница 172.

Условие.

22.61. Через середину диагонали $BD$ прямоугольника $ABCD$ проведена прямая, пересекающая стороны $BC$ и $AD$ прямоугольника в точках $M$ и $K$ соответственно, $BD = 10$ см, $BM = 6$ см, $MC = 2$ см. Вычислите площадь четырёхугольника $AMCK$.

Решение 1.

Решение 3.

1. Нахождение сторон прямоугольника.

По условию, точки $M$ и $C$ лежат на стороне $BC$, следовательно, длина стороны $BC$ равна сумме длин отрезков $BM$ и $MC$.

$BC = BM + MC = 6 \text{ см} + 2 \text{ см} = 8 \text{ см}$.

В прямоугольнике $ABCD$ противоположные стороны равны, поэтому $AD = BC = 8 \text{ см}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BCD$ (угол $\angle C = 90^\circ$). Диагональ $BD$ является гипотенузой. По теореме Пифагора:

$CD^2 + BC^2 = BD^2$

Подставим известные значения:

$CD^2 + 8^2 = 10^2$

$CD^2 + 64 = 100$

$CD^2 = 100 - 64 = 36$

$CD = \sqrt{36} = 6 \text{ см}$.

Таким образом, стороны прямоугольника равны $AD=BC=8$ см и $AB=CD=6$ см.

2. Нахождение длины отрезка AK.

Пусть $O$ — середина диагонали $BD$. По условию, прямая, содержащая отрезок $MK$, проходит через точку $O$.

Рассмотрим треугольники $\triangle BOM$ и $\triangle DOK$.

У них:

• $BO = DO$ (так как $O$ — середина $BD$).
• $\angle BOM = \angle DOK$ (как вертикальные углы).
• $\angle MBO = \angle KDO$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $BD$).

Следовательно, $\triangle BOM \cong \triangle DOK$ (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $DK = BM = 6 \text{ см}$.

Точка $K$ лежит на стороне $AD$, поэтому $AK = AD - DK$.

$AK = 8 \text{ см} - 6 \text{ см} = 2 \text{ см}$.

3. Вычисление площади четырёхугольника AMCK.

Четырёхугольник $AMCK$ имеет две параллельные стороны $AK$ и $MC$ (так как они лежат на параллельных сторонах прямоугольника $AD$ и $BC$). Следовательно, $AMCK$ — это трапеция.

Основания трапеции: $AK = 2 \text{ см}$ и $MC = 2 \text{ см}$.

Высотой трапеции является перпендикуляр между основаниями, который равен стороне прямоугольника $CD = 6 \text{ см}$.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:

$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — основания, $h$ — высота.

$S_{AMCK} = \frac{AK + MC}{2} \cdot CD = \frac{2 + 2}{2} \cdot 6 = \frac{4}{2} \cdot 6 = 2 \cdot 6 = 12 \text{ см}^2$.

(Примечание: поскольку основания трапеции равны, $AMCK$ является параллелограммом.)

Ответ: 12 см².