Номер 55, страница 171 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 55, страница 171.

Условие.

22.55. Площадь треугольника $ABC$ равна $40$ см$^2$. На медиане $AM$ отметили точку $P$ такую, что $AP : PM = 2 : 3$. Найдите площадь треугольника $BPM$.

Решение 1.

Решение 3.

Поскольку $AM$ — медиана треугольника $ABC$, она делит его на два треугольника с равными площадями (равновеликих треугольника). Таким образом, площадь треугольника $ABM$ равна половине площади треугольника $ABC$.

$S_{ABM} = \frac{1}{2} S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 40 = 20$ см².

Теперь рассмотрим треугольник $ABM$. Отрезок $BP$ является чевианой, которая делит его на два меньших треугольника: $ABP$ и $BPM$. Эти два треугольника имеют общую высоту, проведенную из вершины $B$ к стороне $AM$. Площади треугольников с общей высотой относятся как длины их оснований. Это же свойство справедливо и для треугольников $BPM$ и $ABM$. У них также общая высота из вершины $B$, а их основания $PM$ и $AM$ лежат на одной прямой.

Следовательно, отношение их площадей равно отношению их оснований:

$\frac{S_{BPM}}{S_{ABM}} = \frac{PM}{AM}$

По условию задачи дано отношение $AP : PM = 2 : 3$. Это означает, что отрезок $AM$ можно условно разделить на $2+3=5$ равных частей. Тогда длина отрезка $PM$ составляет 3 части из 5, а длина всего отрезка $AM$ — 5 частей. Таким образом, отношение длины $PM$ к длине $AM$ составляет:

$\frac{PM}{AM} = \frac{3}{2+3} = \frac{3}{5}$

Подставив это отношение в формулу для площадей, получаем:

$S_{BPM} = \frac{3}{5} S_{ABM}$

Зная, что $S_{ABM} = 20$ см², находим искомую площадь треугольника $BPM$:

$S_{BPM} = \frac{3}{5} \cdot 20 = 3 \cdot 4 = 12$ см².

Ответ: 12 см².