Номер 53, страница 171 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 53, страница 171.

Условие.

22.53. Медиана $CM$ треугольника $ABC$ образует со сторонами $AC$ и $BC$ углы $\alpha$ и $\beta$ соответственно, $BC = a$. Найдите медиану $CM$.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $CM = m$ – искомая длина медианы.

Продолжим медиану $CM$ за точку $M$ на ее длину до точки $D$ так, что $CM = MD$. Соединим точку $D$ с точками $A$ и $B$. В полученном четырехугольнике $ACBD$ диагонали $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $M$. По определению медианы, $M$ является серединой стороны $AB$, а по построению $M$ является серединой отрезка $CD$. Так как диагонали четырехугольника $ACBD$ в точке пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

В параллелограмме $ACBD$ противоположные стороны параллельны, в частности $AC \parallel DB$.

Рассмотрим треугольник $BCD$. Его стороны и углы:

• $BC = a$ (по условию).
• $CD = CM + MD = m + m = 2m$.
• $\angle BDC$: так как $AC \parallel DB$ и $CD$ — секущая, углы $\angle BDC$ и $\angle ACD$ являются накрест лежащими, следовательно, они равны. Точки $C$, $M$, $D$ лежат на одной прямой, поэтому $\angle ACD = \angle ACM = \alpha$. Таким образом, $\angle BDC = \alpha$.
• $\angle CBD$: так как $AC \parallel DB$ и $CB$ — секущая, углы $\angle ACB$ и $\angle CBD$ являются внутренними односторонними, и их сумма равна $180^\circ$. Угол $\angle ACB = \angle ACM + \angle BCM = \alpha + \beta$. Отсюда следует, что $\angle CBD = 180^\circ - \angle ACB = 180^\circ - (\alpha + \beta)$.

Применим теорему синусов к треугольнику $BCD$:$ \frac{BC}{\sin(\angle BDC)} = \frac{CD}{\sin(\angle CBD)} $

Подставим известные значения:$ \frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{2m}{\sin(180^\circ - (\alpha + \beta))} $

Используя формулу приведения $\sin(180^\circ - x) = \sin(x)$, получим:$ \frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{2m}{\sin(\alpha + \beta)} $

Выразим из этого равенства искомую длину медианы $m$:$ 2m \sin(\alpha) = a \sin(\alpha + \beta) $$ m = \frac{a \sin(\alpha + \beta)}{2 \sin(\alpha)} $

Ответ: $CM = \frac{a \sin(\alpha + \beta)}{2 \sin(\alpha)}$