Номер 59, страница 172 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 59, страница 172.

Условие.

22.59. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит его сторону в отношении 3 : 7, считая от вершины острого угла, равного 45°. Вычислите площадь параллелограмма, если его периметр равен 52 см.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$, где $\angle A$ — острый угол, равный $45^\circ$, а $\angle B$ — тупой угол, равный $180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$. Пусть $BK$ — биссектриса тупого угла $\angle B$, которая пересекает сторону $AD$ в точке $K$.

1. Определение соотношения между сторонами параллелограмма.
Поскольку $BK$ является биссектрисой угла $\angle B$, она делит его на два равных угла: $\angle ABK = \angle KBC$. В параллелограмме $ABCD$ стороны $BC$ и $AD$ параллельны ($BC \parallel AD$). Прямая $BK$ является секущей для этих параллельных прямых. Следовательно, внутренние накрест лежащие углы $\angle KBC$ и $\angle AKB$ равны. Из равенств $\angle ABK = \angle KBC$ и $\angle KBC = \angle AKB$ следует, что $\angle ABK = \angle AKB$. Это означает, что треугольник $\triangle ABK$ является равнобедренным с основанием $BK$. В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, равны, следовательно, $AB = AK$.

2. Нахождение длин сторон параллелограмма.
По условию задачи, биссектриса делит сторону $AD$ в отношении $3:7$, считая от вершины острого угла $A$. Это означает, что $AK : KD = 3 : 7$. Пусть $a$ и $b$ — смежные стороны параллелограмма, где $a = AB$ и $b = AD$. Из пункта 1 мы знаем, что $a = AB = AK$. Сторона $b = AD = AK + KD$. Из отношения $AK : KD = 3 : 7$ можно выразить $KD$ через $AK$: $KD = \frac{7}{3}AK$. Тогда $b = AD = AK + \frac{7}{3}AK = \frac{3}{3}AK + \frac{7}{3}AK = \frac{10}{3}AK$. Так как $a = AK$, получаем $b = \frac{10}{3}a$. Периметр параллелограмма равен $P = 2(a+b)$. По условию, $P = 52$ см. Подставим выражение для $b$ в формулу периметра: $52 = 2(a + \frac{10}{3}a)$ $52 = 2(\frac{3}{3}a + \frac{10}{3}a)$ $52 = 2(\frac{13}{3}a)$ $52 = \frac{26}{3}a$ Отсюда найдем сторону $a$: $a = \frac{52 \cdot 3}{26} = 2 \cdot 3 = 6$ см. Теперь найдем сторону $b$: $b = \frac{10}{3}a = \frac{10}{3} \cdot 6 = 10 \cdot 2 = 20$ см. Итак, стороны параллелограмма равны 6 см и 20 см.

3. Вычисление площади параллелограмма.
Площадь параллелограмма вычисляется по формуле $S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$, где $a$ и $b$ — длины смежных сторон, а $\alpha$ — угол между ними. В нашем случае $a = 6$ см, $b = 20$ см, и острый угол $\alpha = 45^\circ$. Значение синуса $45^\circ$ равно $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Подставляем значения в формулу площади: $S = 6 \cdot 20 \cdot \sin(45^\circ) = 120 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 60\sqrt{2}$ см².
Ответ: $60\sqrt{2}$ см².