Номер 60, страница 172 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 60, страница 172.

Условие.

22.60. Биссектриса угла $D$ прямоугольника $ABCD$ пересекает сторону $AB$ в точке $M$, $BM = 5$ см, $AD = 3$ см. Найдите периметр прямоугольника.

Решение 1.

Решение 3.

Поскольку $ABCD$ является прямоугольником, все его углы равны $90^\circ$, а противоположные стороны параллельны. В частности, $\angle D = 90^\circ$ и сторона $AB$ параллельна стороне $DC$ ($AB \parallel DC$).

По условию, отрезок $DM$ является биссектрисой угла $D$. Это означает, что он делит угол $D$ на два равных угла:
$\angle ADM = \angle CDM = \frac{\angle D}{2} = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.

Рассмотрим параллельные прямые $AB$ и $DC$ и секущую $DM$. Углы $\angle AMD$ и $\angle CDM$ являются накрест лежащими, а значит, они равны. Таким образом, $\angle AMD = \angle CDM = 45^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $ADM$. В этом треугольнике мы имеем два равных угла: $\angle ADM = 45^\circ$ и $\angle AMD = 45^\circ$. Треугольник, у которого два угла равны, является равнобедренным. Стороны, лежащие напротив равных углов, равны между собой. Следовательно, $AM = AD$.

Из условия задачи нам известно, что $AD = 3$ см. Значит, и $AM = 3$ см.

Сторона $AB$ прямоугольника состоит из двух отрезков $AM$ и $BM$. Ее длина равна их сумме:
$AB = AM + BM$.

Подставив известные значения ($AM = 3$ см и $BM = 5$ см), находим длину стороны $AB$:
$AB = 3 \text{ см} + 5 \text{ см} = 8 \text{ см}$.

Итак, мы определили длины смежных сторон прямоугольника: $AB = 8$ см и $AD = 3$ см. Периметр прямоугольника $P$ вычисляется по формуле $P = 2 \cdot (a+b)$, где $a$ и $b$ — длины смежных сторон.
$P_{ABCD} = 2 \cdot (AB + AD) = 2 \cdot (8 + 3) = 2 \cdot 11 = 22$ см.

Ответ: 22 см.