Номер 62, страница 172 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 62, страница 172.

Условие.

22.62. Серединный перпендикуляр диагонали $AC$ прямоугольника $ABCD$ пересекает сторону $BC$ и образует с ней угол, равный углу между диагоналями. Найдите этот угол.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $ABCD$ — данный прямоугольник. Обозначим точку пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ как $O$. Пусть $l$ — срединный перпендикуляр к диагонали $AC$. По определению, прямая $l$ проходит через середину отрезка $AC$, то есть через точку $O$, и перпендикулярна ему ($l \perp AC$).

Пусть прямая $l$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$. Угол, который срединный перпендикуляр $l$ (прямая $OK$) образует со стороной $BC$, — это $\angle CKO$. Обозначим этот угол как $\alpha$.

Угол между диагоналями — это острый угол между прямыми $AC$ и $BD$. Обозначим его как $\beta$. По условию задачи, $\alpha = \beta$.

Рассмотрим треугольник $BOC$. Поскольку диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, $BO = CO$. Следовательно, треугольник $BOC$ — равнобедренный.

Обозначим угол $\angle BCA$ (он же $\angle OCK$) как $\gamma$. В равнобедренном треугольнике $BOC$ углы при основании равны, поэтому $\angle OBC = \angle OCB = \gamma$.

Угол между диагоналями $\angle BOC$ равен $180^\circ - 2\gamma$. Смежный с ним угол $\angle AOB$ равен $180^\circ - (180^\circ - 2\gamma) = 2\gamma$. Один из этих углов является острым углом $\beta$ между диагоналями.

Теперь рассмотрим треугольник $OKC$. Так как прямая $OK$ (часть срединного перпендикуляра $l$) перпендикулярна диагонали $AC$ (частью которой является отрезок $OC$), то $\angle KOC = 90^\circ$. Таким образом, треугольник $OKC$ является прямоугольным.

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике $OKC$ равна $90^\circ$:$\angle OCK + \angle CKO = 90^\circ$Подставляя наши обозначения, получаем:$\gamma + \alpha = 90^\circ$, откуда $\alpha = 90^\circ - \gamma$.

Теперь составим систему уравнений на основе условия задачи и геометрических свойств:

1. $\alpha = \beta$ (по условию)
2. $\alpha = 90^\circ - \gamma$ (из $\triangle OKC$)
3. $\beta = 2\gamma$ (если $2\gamma$ — острый угол) или $\beta = 180^\circ - 2\gamma$ (если $180^\circ - 2\gamma$ — острый угол).

Рассмотрим случай, когда острый угол между диагоналями $\beta = 2\gamma$. Подставим это в первое уравнение: $\alpha = 2\gamma$.Теперь у нас есть два выражения для $\alpha$:$\alpha = 90^\circ - \gamma$$\alpha = 2\gamma$Приравняем их:$2\gamma = 90^\circ - \gamma$$3\gamma = 90^\circ$$\gamma = 30^\circ$

Теперь найдем искомый угол $\alpha$:$\alpha = 2\gamma = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$.

Проверим наше предположение. Если $\gamma = 30^\circ$, то $2\gamma = 60^\circ$, что меньше $90^\circ$, так что это действительно острый угол. Угол $\beta = 60^\circ$. Угол $\alpha = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$. Условие $\alpha = \beta$ выполняется. Следовательно, решение найдено верно.

Ответ: $60^\circ$.