Номер 57, страница 172 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 57, страница 172.

Условие.

22.57. Высота параллелограмма, проведённая из вершины тупого угла, равна 6 см и делит сторону параллелограмма пополам. Найдите меньшую диагональ параллелограмма, если его острый угол равен $30^\circ$.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$, где $\angle A = 30^{\circ}$ — острый угол, а $\angle B$ — тупой угол. Проведем из вершины $B$ высоту $BH$ на сторону $AD$.

Согласно условию задачи:
1. Высота $BH = 6$ см.
2. Высота делит сторону $AD$ пополам, то есть точка $H$ — середина $AD$, и, следовательно, $AH = HD$.
3. Острый угол $\angle A = 30^{\circ}$.

Требуется найти меньшую диагональ. В параллелограмме меньшая диагональ лежит напротив острого угла. В нашем случае это диагональ $BD$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$ (поскольку $BH$ — высота, то $\angle BHA = 90^{\circ}$). В этом треугольнике катет $BH$ лежит напротив угла $\angle A = 30^{\circ}$. По свойству прямоугольного треугольника, катет, лежащий против угла в $30^{\circ}$, равен половине гипотенузы.Следовательно, $BH = \frac{1}{2} AB$.

Из этого соотношения находим длину стороны $AB$:$AB = 2 \cdot BH = 2 \cdot 6 = 12$ см.

Теперь найдем длину отрезка $AH$ в том же треугольнике $\triangle ABH$, используя теорему Пифагора: $AB^2 = AH^2 + BH^2$.$AH^2 = AB^2 - BH^2$$AH^2 = 12^2 - 6^2 = 144 - 36 = 108$$AH = \sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}$ см.

Так как по условию высота делит сторону $AD$ пополам, то $HD = AH = 6\sqrt{3}$ см.

Далее рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BHD$, где $\angle BHD = 90^{\circ}$. Гипотенузой этого треугольника является искомая диагональ $BD$. Катеты этого треугольника — $BH$ и $HD$.Применим теорему Пифагора для $\triangle BHD$:$BD^2 = BH^2 + HD^2$$BD^2 = 6^2 + (6\sqrt{3})^2$$BD^2 = 36 + 36 \cdot 3$$BD^2 = 36 + 108$$BD^2 = 144$$BD = \sqrt{144} = 12$ см.

Таким образом, длина меньшей диагонали параллелограмма составляет 12 см.

Ответ: 12 см.