Номер 50, страница 171 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 50, страница 171.

Условие.

22.50. На продолжении стороны $AC$ треугольника $ABC$ за точку $C$ отметили точку $D$ так, что $\angle ADB = 30^{\circ}$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABD$, если $\angle ACB = 45^{\circ}$, а радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, равен $8\sqrt{2}$ см.

Решение 1.

Решение 3.

Для решения задачи воспользуемся теоремой синусов, которая гласит, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной около этого треугольника окружности.

1. Рассмотрим треугольник $ABC$. Обозначим радиус описанной около него окружности как $R_{ABC}$. По теореме синусов имеем:

$\frac{AB}{\sin(\angle ACB)} = 2R_{ABC}$

По условию задачи, $\angle ACB = 45^\circ$ и $R_{ABC} = 8\sqrt{2}$ см. Подставим эти значения в формулу, чтобы найти длину стороны $AB$:

$AB = 2R_{ABC} \cdot \sin(\angle ACB) = 2 \cdot 8\sqrt{2} \cdot \sin(45^\circ)$

Так как значение синуса $45^\circ$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$AB = 16\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{16 \cdot 2}{2} = 16$ см.

2. Теперь рассмотрим треугольник $ABD$. Сторона $AB$ является общей для треугольников $ABC$ и $ABD$. Обозначим искомый радиус окружности, описанной около треугольника $ABD$, как $R_{ABD}$. Снова применим теорему синусов:

$\frac{AB}{\sin(\angle ADB)} = 2R_{ABD}$

Из условия нам известно, что $\angle ADB = 30^\circ$. Длину стороны $AB$ мы уже вычислили. Подставим известные значения:

$\frac{16}{\sin(30^\circ)} = 2R_{ABD}$

Так как значение синуса $30^\circ$ равно $\frac{1}{2}$, получаем:

$\frac{16}{1/2} = 2R_{ABD}$

$32 = 2R_{ABD}$

Отсюда находим $R_{ABD}$:

$R_{ABD} = \frac{32}{2} = 16$ см.

Ответ: 16 см.