Номер 44, страница 171 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 44, страница 171.

Условие.

22.44. В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle C = 90^\circ$, $AC = 9$ см, $BC = 12$ см. На стороне $AB$ отметили точку $D$ так, что $AD = 5$ см. Найдите отрезок $CD$.

Решение 1.

Решение 3.

Поскольку треугольник $ABC$ является прямоугольным с прямым углом $C$, мы можем найти длину гипотенузы $AB$ по теореме Пифагора:
$AB^2 = AC^2 + BC^2$
$AB^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$
$AB = \sqrt{225} = 15$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $ADC$. Для нахождения длины отрезка $CD$ воспользуемся теоремой косинусов. Для этого нам понадобится косинус угла $A$, который мы можем найти из исходного треугольника $ABC$.
Косинус угла $A$ в прямоугольном треугольнике $ABC$ равен отношению прилежащего катета $AC$ к гипотенузе $AB$:
$\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}$

Применим теорему косинусов для треугольника $ADC$:
$CD^2 = AC^2 + AD^2 - 2 \cdot AC \cdot AD \cdot \cos A$
Подставим известные значения ($AC=9$ см, $AD=5$ см, $\cos A = 3/5$):
$CD^2 = 9^2 + 5^2 - 2 \cdot 9 \cdot 5 \cdot \frac{3}{5}$
$CD^2 = 81 + 25 - 54$
$CD^2 = 106 - 54 = 52$
$CD = \sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} = 2\sqrt{13}$ см.

Ответ: $2\sqrt{13}$ см.