Номер 42, страница 171 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 42, страница 171.

Условие.

22.42. Сумма двух сторон треугольника равна 16 см, а угол между ними – $120^\circ$. Найдите меньшую из этих сторон, если третья сторона треугольника равна 14 см.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $a$ и $b$ — это две стороны треугольника, о которых идет речь в условии, а $c$ — третья сторона. Угол между сторонами $a$ и $b$ обозначим как $\gamma$.

Согласно условию задачи, мы имеем следующие данные:
Сумма двух сторон: $a + b = 16$ см.
Угол между ними: $\gamma = 120^\circ$.
Третья сторона: $c = 14$ см.

Для нахождения неизвестных сторон $a$ и $b$ мы можем использовать теорему косинусов, которая гласит:
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$.

Сначала найдем значение косинуса для угла $120^\circ$:
$\cos(120^\circ) = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos(60^\circ) = - \frac{1}{2}$.

Теперь подставим все известные значения в формулу теоремы косинусов:
$14^2 = a^2 + b^2 - 2ab \left(-\frac{1}{2}\right)$.

Упростим это уравнение:
$196 = a^2 + b^2 + ab$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными $a$ и $b$:
$a + b = 16$
$a^2 + b^2 + ab = 196$

Для решения этой системы выразим $b$ из первого уравнения: $b = 16 - a$.

Подставим это выражение для $b$ во второе уравнение:
$a^2 + (16 - a)^2 + a(16 - a) = 196$.

Теперь раскроем скобки и преобразуем уравнение:
$a^2 + (256 - 32a + a^2) + (16a - a^2) = 196$.

Приведем подобные члены в левой части уравнения:
$(a^2 + a^2 - a^2) + (-32a + 16a) + 256 = 196$,
что упрощается до $a^2 - 16a + 256 = 196$.

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$a^2 - 16a + 256 - 196 = 0$,
$a^2 - 16a + 60 = 0$.

Это квадратное уравнение можно решить, например, по теореме Виета. Ищем два числа, сумма которых равна 16, а произведение равно 60. Такими числами являются 6 и 10.
Таким образом, корни уравнения: $a_1 = 6$ и $a_2 = 10$.

Эти два корня являются длинами искомых сторон.
Если одна сторона $a = 6$ см, то вторая сторона $b = 16 - 6 = 10$ см.
Если же $a = 10$ см, то $b = 16 - 10 = 6$ см.

В любом случае, длины этих двух сторон треугольника — 6 см и 10 см. В задаче требуется найти меньшую из этих сторон.
Сравнивая 6 и 10, мы видим, что меньшая сторона равна 6 см.

Ответ: 6 см.