Номер 48, страница 171 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 48, страница 171.

Условие.

22.48. Одна из сторон треугольника равна 25 см, а другая сторона делится точкой касания вписанной окружности на отрезки длиной 22 см и 8 см, считая от конца первой стороны. Найдите радиус вписанной окружности.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дан треугольник, обозначим его вершины как $A$, $B$, $C$. Пусть длины его сторон $BC=a$, $AC=b$ и $AB=c$.

Согласно условию, одна из сторон равна 25 см. Пусть $c = AB = 25$ см.

Другая сторона, пусть это будет $a = BC$, делится точкой касания вписанной окружности (назовем ее $K$) на отрезки длиной 22 см и 8 см. Условие "считая от конца первой стороны" означает, что отсчет ведется от вершины $B$, которая является общей для сторон $AB$ и $BC$. Таким образом, отрезок, примыкающий к вершине $B$, равен 22 см, а другой — 8 см. То есть, $BK = 22$ см и $KC = 8$ см.

Найдем длину стороны $a$:
$a = BC = BK + KC = 22 + 8 = 30$ см.

Пусть вписанная окружность касается сторон $AB$ и $AC$ в точках $N$ и $M$ соответственно. По свойству касательных, проведенных из одной вершины к окружности, отрезки касательных от вершины до точек касания равны.

Следовательно, мы имеем следующие равенства:
$BN = BK = 22$ см.
$CM = CK = 8$ см.

Зная длину стороны $c=AB=25$ см и длину отрезка $BN=22$ см, найдем длину отрезка $AN$:
$AN = AB - BN = 25 - 22 = 3$ см.

По тому же свойству касательных, $AM = AN = 3$ см.

Теперь мы можем вычислить длину третьей стороны $b=AC$:
$b = AC = AM + MC = 3 + 8 = 11$ см.

Таким образом, мы определили длины всех сторон треугольника: $a = 30$ см, $b = 11$ см, $c = 25$ см.

Радиус вписанной окружности $r$ можно найти по формуле, связывающей его с площадью $S$ и полупериметром $p$ треугольника: $S = p \cdot r$. Отсюда $r = \frac{S}{p}$.

Сначала вычислим полупериметр $p$:
$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{30+11+25}{2} = \frac{66}{2} = 33$ см.

Затем вычислим площадь треугольника $S$ по формуле Герона:
$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$
Подставим значения:
$S = \sqrt{33(33-30)(33-11)(33-25)} = \sqrt{33 \cdot 3 \cdot 22 \cdot 8}$
$S = \sqrt{(3 \cdot 11) \cdot 3 \cdot (2 \cdot 11) \cdot (2^3)} = \sqrt{3^2 \cdot 11^2 \cdot 2^4} = 3 \cdot 11 \cdot 2^2 = 33 \cdot 4 = 132$ см².

Наконец, найдем радиус вписанной окружности $r$:
$r = \frac{S}{p} = \frac{132}{33} = 4$ см.

Ответ: 4 см.