Номер 51, страница 171 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 51, страница 171.

Условие.

22.51. Стороны треугольника равны 6 см и 8 см. Медиана треугольника, проведённая к его третьей стороне, равна $\sqrt{46}$ см. Найдите неизвестную сторону треугольника.

Решение 1.

Решение 3.

Для решения этой задачи воспользуемся формулой для вычисления длины медианы треугольника. Пусть стороны треугольника равны $a$, $b$ и $c$. Медиана $m_c$, проведенная к стороне $c$, связана со сторонами треугольника следующим соотношением:

$m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}$

По условию задачи нам даны две стороны треугольника и медиана, проведенная к третьей, неизвестной стороне. Обозначим известные стороны как $a$ и $b$, а неизвестную сторону как $c$.

Дано:

• $a = 6$ см
• $b = 8$ см
• $m_c = \sqrt{46}$ см

Подставим эти значения в формулу:

$\sqrt{46} = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 6^2 + 2 \cdot 8^2 - c^2}$

Для того чтобы найти $c$, решим полученное уравнение. Сначала возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{46})^2 = \left(\frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 6^2 + 2 \cdot 8^2 - c^2}\right)^2$

$46 = \frac{1}{4}(2 \cdot 36 + 2 \cdot 64 - c^2)$

Выполним вычисления в скобках:

$46 = \frac{1}{4}(72 + 128 - c^2)$

$46 = \frac{1}{4}(200 - c^2)$

Теперь умножим обе части уравнения на 4:

$46 \cdot 4 = 200 - c^2$

$184 = 200 - c^2$

Выразим $c^2$:

$c^2 = 200 - 184$

$c^2 = 16$

Чтобы найти длину стороны $c$, извлечем квадратный корень из 16. Поскольку длина стороны не может быть отрицательной, берем только положительное значение корня:

$c = \sqrt{16} = 4$

Следовательно, длина неизвестной стороны треугольника составляет 4 см.

Ответ: 4 см.