Номер 56, страница 172 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 56, страница 172.

Условие.

22.56. Стороны параллелограмма равны 12 см и 20 см, а угол между его высотами, проведенными из вершины тупого угла, – $60^\circ$. Найдите площадь параллелограмма.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дан параллелограмм со сторонами $a = 12$ см и $b = 20$ см. Обозначим острый угол параллелограмма как $\alpha$, а тупой угол как $\beta$. Известно, что $\alpha + \beta = 180^\circ$.

Площадь параллелограмма можно найти по формуле:$S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$

Найдем острый угол $\alpha$. По условию, угол между высотами, проведенными из вершины тупого угла, равен $60^\circ$. Давайте докажем, что этот угол равен острому углу параллелограмма.

Пусть $ABCD$ — наш параллелограмм, где $\angle B = \beta$ — тупой угол, а $\angle A = \alpha$ — острый угол. Проведем из вершины $B$ высоты $BE$ на сторону $AD$ и $BF$ на сторону $CD$. Угол между этими высотами $\angle EBF = 60^\circ$.

Поскольку углы $\angle A$ и $\angle C$ в параллелограмме острые, основания высот $E$ и $F$ будут лежать на сторонах $AD$ и $CD$ соответственно.

Рассмотрим четырехугольник $BEDF$. Сумма его углов равна $360^\circ$. В этом четырехугольнике:

• $\angle BED = 90^\circ$ (так как $BE$ — высота)
• $\angle BFD = 90^\circ$ (так как $BF$ — высота)
• $\angle EBF = 60^\circ$ (по условию)
• $\angle FDE = \angle D = \beta$ (как тупой угол параллелограмма)

Сложим углы четырехугольника $BEDF$:$\angle D + \angle BED + \angle EBF + \angle BFD = 360^\circ$$\beta + 90^\circ + 60^\circ + 90^\circ = 360^\circ$$\beta + 240^\circ = 360^\circ$$\beta = 360^\circ - 240^\circ = 120^\circ$

Итак, тупой угол параллелограмма равен $120^\circ$. Тогда острый угол $\alpha$ равен:$\alpha = 180^\circ - \beta = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$

Таким образом, острый угол параллелограмма равен углу между высотами, проведенными из вершины тупого угла.

Теперь мы можем вычислить площадь параллелограмма, зная его стороны и острый угол:$S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha) = 12 \text{ см} \cdot 20 \text{ см} \cdot \sin(60^\circ)$

Поскольку $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:$S = 240 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 120\sqrt{3} \text{ см}^2$

Ответ: $120\sqrt{3} \text{ см}^2$.