Номер 58, страница 172 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 58, страница 172.

Условие.

22.58. Одна из сторон параллелограмма равна 12 см, большая диагональ – 28 см, а тупой угол – 120°. Найдите периметр параллелограмма.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть стороны параллелограмма равны $a$ и $b$. Согласно условию задачи, одна из сторон равна 12 см, пусть $a = 12$ см. Вторая сторона, $b$, нам неизвестна. Также даны тупой угол параллелограмма, который равен $120°$, и большая диагональ, равная $28$ см. Важно помнить, что в параллелограмме большая диагональ лежит напротив тупого угла.

Рассмотрим треугольник, который образован двумя смежными сторонами параллелограмма ($a$ и $b$) и его большей диагональю ($d_1$). Угол между сторонами $a$ и $b$ в этом треугольнике и есть тупой угол параллелограмма, то есть $120°$. Мы можем найти неизвестную сторону $b$, применив к этому треугольнику теорему косинусов.

Теорема косинусов для данного треугольника выглядит так:$d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(120°)$

Подставим известные значения в эту формулу:$28^2 = 12^2 + b^2 - 2 \cdot 12 \cdot b \cdot \cos(120°)$

Выполним вычисления. Мы знаем, что $28^2 = 784$, $12^2 = 144$, и $\cos(120°) = -0.5$.$784 = 144 + b^2 - 24b(-0.5)$$784 = 144 + b^2 + 12b$

Перенесем все члены в одну часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:$b^2 + 12b + 144 - 784 = 0$$b^2 + 12b - 640 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение относительно $b$. Найдем дискриминант $D$:$D = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-640) = 144 + 2560 = 2704$Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{2704} = 52$.

Найдем корни уравнения по формуле:$b = \frac{-12 \pm \sqrt{2704}}{2} = \frac{-12 \pm 52}{2}$

Уравнение имеет два корня:$b_1 = \frac{-12 + 52}{2} = \frac{40}{2} = 20$$b_2 = \frac{-12 - 52}{2} = \frac{-64}{2} = -32$

Поскольку длина стороны геометрической фигуры не может быть отрицательной, мы выбираем положительный корень. Таким образом, длина второй стороны параллелограмма $b = 20$ см.

Теперь, зная длины обеих смежных сторон параллелограмма ($a = 12$ см и $b = 20$ см), мы можем найти его периметр. Периметр параллелограмма $P$ равен удвоенной сумме его смежных сторон:$P = 2(a + b)$$P = 2(12 + 20) = 2(32) = 64$ см.

Ответ: 64 см.