Номер 64, страница 172 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 64, страница 172.

Условие.

22.64. Вычислите площадь ромба, одна из диагоналей которого равна 16 см, а сторона – 10 см.

Решение 1.

Решение 3.

Для вычисления площади ромба воспользуемся формулой, связывающей площадь с длинами его диагоналей:$S = \frac{1}{2} d_1 d_2$, где $S$ – площадь, а $d_1$ и $d_2$ – диагонали ромба.

По условию задачи нам известны сторона ромба $a = 10$ см и одна из его диагоналей, пусть $d_1 = 16$ см.

Диагонали ромба обладают важным свойством: они пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам. Таким образом, диагонали делят ромб на четыре одинаковых прямоугольных треугольника.

Рассмотрим один из этих прямоугольных треугольников. Его гипотенузой является сторона ромба ($a = 10$ см), а катетами – половины его диагоналей.

Один катет равен половине известной диагонали:$\frac{d_1}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см.

Второй катет, равный половине второй диагонали ($\frac{d_2}{2}$), можно найти с помощью теоремы Пифагора:$a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2$

Подставим известные значения:$10^2 = 8^2 + (\frac{d_2}{2})^2$$100 = 64 + (\frac{d_2}{2})^2$

Теперь найдем квадрат половины второй диагонали:$(\frac{d_2}{2})^2 = 100 - 64 = 36$

Извлечем квадратный корень, чтобы найти половину второй диагонали:$\frac{d_2}{2} = \sqrt{36} = 6$ см.

Полная длина второй диагонали $d_2$ будет в два раза больше:$d_2 = 2 \cdot 6 = 12$ см.

Теперь, зная обе диагонали ($d_1 = 16$ см и $d_2 = 12$ см), мы можем вычислить площадь ромба:$S = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 12 = 8 \cdot 12 = 96$ см².

Ответ: 96 см².